Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(v)
(v)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do conjunto do plano
definido por
Este problema envolve geometria analítica: vamos ver em que região do plano a distância de qualquer ponto ao eixo
(dada por
) é maior do que a distância ao eixo
(dada por
).
Passo 2
Começamos reescrevendo a desigualdade em termos de quadrados, para eliminar valores absolutos:
Fatorando,
logo a condição vira
Passo 3
Para que o produto
seja positivo, ou ambos os fatores são positivos, ou ambos são negativos.
- Caso 1:
isto é
— neste caso, o ponto está à direita do eixo
e entre as retas
e
.
2. Caso 2:
2. Caso 2:
isto é
— neste caso, o ponto está à esquerda do eixo
e entre as mesmas retas.
Passo 4
Geometricamente, as retas
e
dividem o plano em quatro setores de
. A condição
seleciona os dois setores que contêm o eixo
, mas sem incluir as próprias retas (por causa da desigualdade estrita).
Para esboçar:
Para esboçar:
- Desenhe as linhas
e . - Sombreie o setor aberto centrado no eixo positivo
(entre e à direita). - Sombreie o setor aberto centrado no eixo negativo
(entre e à esquerda).
Resposta
O conjunto
é a união de dois setores abertos de amplitude
em torno do eixo
, limitados pelas retas
e
, sem incluir as fronteiras.