Esboce as superfícies abaixo, sendo
e
números reais fixados.:
.
Passo 1
Beleza! O exercício quer que a gente desenhe a superfície definida pela equação
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para identificar que tipo de superfície é essa e entender como ela se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação:
. Ela é uma equação quadrática com termos nas três variáveis x, y e z, o que significa que estamos lidando com uma superfície no espaço tridimensional.
Passo 3
O próximo passo é observar os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos. Aqui, o termo em
é positivo, enquanto os termos em
e
são negativos. Essa combinação nos dá uma pista sobre o tipo de superfície que estamos tratando.
Passo 4
Em geometria analítica, quando temos uma equação quadrática com um termo positivo e dois negativos (ou vice-versa), geralmente estamos lidando com um hiperboloide. Mais especificamente, dependendo da configuração dos sinais, pode ser um hiperboloide de uma ou duas folhas.
Passo 5
No nosso caso, a equação
se encaixa na forma de um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície se parece com um “bolo” estendido, com simetria ao redor de um dos eixos.
Passo 6
Para esboçar o hiperboloide de uma folha, podemos analisar os cortes da superfície em planos específicos:
-
Plano y=0: Substituindo y=0 na equação, temos
. Essa equação não tem soluções reais, o que significa que a superfície não intercepta o plano y=0. -
Plano x=0: Substituindo x=0, obtemos
, que é a equação de uma hipérbole. -
Plano z=0: Substituindo z=0, a equação se torna
, que também representa uma hipérbole.
Passo 7
Com esses cortes, percebemos que o hiperboloide de uma folha tem simetria em relação aos eixos y, x e z, e que suas seções nos planos x=0 e z=0 são hipérboles. Isso nos ajuda a visualizar a superfície como uma forma alongada e simétrica, semelhante a um cilindro hiperbólico estendido.
Resposta
A superfície dada pela equação
é um hiperboloide de uma folha, caracterizado por sua forma simétrica e alongada ao redor do eixo y.