Esboce as superfícies abaixo, sendo a, b e c números reais fixados.:
-x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1.

Passo 1

Beleza! O exercício quer que a gente desenhe a superfície definida pela equação -x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1. Vamos usar conceitos de geometria analítica para identificar que tipo de superfície é essa e entender como ela se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação: -x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1. Ela é uma equação quadrática com termos nas três variáveis x, y e z, o que significa que estamos lidando com uma superfície no espaço tridimensional.

Passo 3

O próximo passo é observar os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos. Aqui, o termo em y^2 é positivo, enquanto os termos em x^2 e z^2 são negativos. Essa combinação nos dá uma pista sobre o tipo de superfície que estamos tratando.

Passo 4

Em geometria analítica, quando temos uma equação quadrática com um termo positivo e dois negativos (ou vice-versa), geralmente estamos lidando com um hiperboloide. Mais especificamente, dependendo da configuração dos sinais, pode ser um hiperboloide de uma ou duas folhas.

Passo 5

No nosso caso, a equação -x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1 se encaixa na forma de um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície se parece com um “bolo” estendido, com simetria ao redor de um dos eixos.

Passo 6

Para esboçar o hiperboloide de uma folha, podemos analisar os cortes da superfície em planos específicos:
  • Plano y=0: Substituindo y=0 na equação, temos -x^2a^2 - z^2c^2 = 1. Essa equação não tem soluções reais, o que significa que a superfície não intercepta o plano y=0.
  • Plano x=0: Substituindo x=0, obtemos y^2b^2 - z^2c^2 = 1, que é a equação de uma hipérbole.
  • Plano z=0: Substituindo z=0, a equação se torna y^2b^2 - x^2a^2 = 1, que também representa uma hipérbole.

Passo 7

Com esses cortes, percebemos que o hiperboloide de uma folha tem simetria em relação aos eixos y, x e z, e que suas seções nos planos x=0 e z=0 são hipérboles. Isso nos ajuda a visualizar a superfície como uma forma alongada e simétrica, semelhante a um cilindro hiperbólico estendido.

Resposta

A superfície dada pela equação -x^2a^2+y^2b^2-z^2c^2=1 é um hiperboloide de uma folha, caracterizado por sua forma simétrica e alongada ao redor do eixo y.

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