(1,5) Mostre que
é solução da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- A função é soma de um termo polinomial (
) e de uma série de potências . - A verificação consiste em calcular
, montar a combinação e mostrar que resulta em zero.
Passo 2
Justificando a manipulação da série: a série de potências
converge para todo
. Uma maneira simples de ver isso é usar o critério da razão. Para os termos
tem-se
portanto a série converge absolutamente para todo
. Como é uma série de potências com raio de convergência infinito, pode-se diferenciá-la termo a termo (a diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência). Isso permite calcular
e
somando as derivadas dos termos.
Passo 3
Calcular
derivando termo a termo. A derivada de
é
. Para a série,
e o termo com
é constante
(pois
) cuja derivada é
. Assim
Fazendo a mudança de índice
(então
vai de
a
) obtemos
Passo 4
Calcular
derivando
. A derivada de
é
. Derivando a série obtida:
então
Novamente mudando o índice
(com
de
a
) obtemos
Observe que a soma obtida para
é exatamente a mesma série que aparece em
(a parte em série), isto é, se denotarmos
então
e
.
Passo 5
Agora montamos a combinação pedida:
Simplificando os termos
e
nota-se que tudo cancela:
Portanto a combinação é identicamente zero para todo
.