(1,5) Mostre que y=x+\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n}}{n!} é solução da equação diferencial \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y+x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
y(x)=x+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y+x=0.
Informações relevantes dadas:
  • A função é soma de um termo polinomial ( x) e de uma série de potências \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}.
  • A verificação consiste em calcular y'', montar a combinação y''-y+x e mostrar que resulta em zero.

Passo 2

Justificando a manipulação da série: a série de potências
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}
converge para todo x\in\mathbb{R}. Uma maneira simples de ver isso é usar o critério da razão. Para os termos a_n=\dfrac{x^n}{n!} tem-se
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!}\right|=\frac{|x|}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
portanto a série converge absolutamente para todo x. Como é uma série de potências com raio de convergência infinito, pode-se diferenciá-la termo a termo (a diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência). Isso permite calcular y' e y'' somando as derivadas dos termos.

Passo 3

Calcular y' derivando termo a termo. A derivada de x é 1. Para a série,
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n}}{n!}\right)=\frac{n\,x^{n-1}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\quad\text{para }n\ge1,
e o termo com n=0 é constante 1 (pois \dfrac{x^0}{0!}=1) cuja derivada é 0. Assim
y'(x)=1+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}.
Fazendo a mudança de índice k=n-1 (então k vai de 0 a +\infty) obtemos
y'(x)=1+\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^{k}}{k!}.

Passo 4

Calcular y'' derivando y'. A derivada de 1 é 0. Derivando a série obtida:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{k}}{k!}\right)=\frac{k\,x^{k-1}}{k!}=\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\quad\text{para }k\ge1,
então
y''(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}.
Novamente mudando o índice m=k-1 (com m de 0 a +\infty) obtemos
y''(x)=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{x^{m}}{m!}.
Observe que a soma obtida para y''(x) é exatamente a mesma série que aparece em y(x) (a parte em série), isto é, se denotarmos
S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!},
então y(x)=x+S(x) e y''(x)=S(x).

Passo 5

Agora montamos a combinação pedida:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y+x = y''-y+x = S(x) - (x+S(x)) + x.
Simplificando os termos S(x) e x nota-se que tudo cancela:
S(x) - x - S(x) + x = 0.
Portanto a combinação é identicamente zero para todo x.

Resposta

\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y+x=0

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