Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes c :
(i) f(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}, c= \pm 1, \pm 2

Passo 1

O enunciado pede: esboçar as curvas de nível da função f para os valores c=\pm 1,\pm 2. A função dada é
f(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}.
O que precisamos construir, para cada c pedido, é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid f(x,y)=c\}.
Informações relevantes já dadas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f (coloquei acima).
  • Os valores de nível pedidos: c=1, c=-1, c=2, c=-2.

Passo 2

Transformar a equação de nível f(x,y)=c em uma forma mais manejável. Começo escrevendo
\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}=c.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}+y^{2}+1 (note que isso é sempre positivo), obtemos
x = c\,(x^{2}+y^{2}+1).
Reorganizando os termos:
c x^{2} - x + c y^{2} + c = 0.
Se c=0 essa equação reduz a x=0 (uma reta vertical); mas como o enunciado pede somente c=\pm1,\pm2, vou tratar primeiro o caso geral c\neq 0.

Passo 3

Para c\neq 0 é conveniente isolar x^{2}+y^{2}. A partir de x = c(x^{2}+y^{2}+1) segue
x^{2}+y^{2} = \frac{x}{c} - 1.
Agora completo o quadrado em x para escrever como equação de círculo. Escrevo
x^{2} - \frac{x}{c} + y^{2} + 1 = 0.
Complete o quadrado no termo envolvendo x:
x^{2} - \frac{x}{c} = \left(x - \frac{1}{2c}\right)^{2} - \frac{1}{4c^{2}}.
Substituindo de volta,
\left(x - \frac{1}{2c}\right)^{2} - \frac{1}{4c^{2}} + y^{2} + 1 = 0.
Rearranjando,
\left(x - \frac{1}{2c}\right)^{2} + y^{2} = \frac{1}{4c^{2}} - 1.
Simplificando a razão do lado direito,
\left(x - \frac{1}{2c}\right)^{2} + y^{2} = \frac{1 - 4c^{2}}{4c^{2}}.
Portanto, para c\neq 0 a curva de nível é (formalmente) um círculo com centro em \left(\dfrac{1}{2c},0\right) e raio
R\text{(c)}=\sqrt{\frac{1-4c^{2}}{4c^{2}}}=\frac{\sqrt{1-4c^{2}}}{2|c|},
desde que o raio seja real.

Passo 4

Condição para existência de pontos reais: é necessário que o lado direito acima seja não negativo, isto é
\frac{1-4c^{2}}{4c^{2}}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 1-4c^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad |c|\le \frac{1}{2}.
  • Se |c|<\tfrac{1}{2}: obtemos um círculo de raio positivo e centro em \left(\dfrac{1}{2c},0\right).
  • Se |c|=\tfrac{1}{2}: o raio é zero e a curva de nível reduz-se a um ponto: para c=\tfrac{1}{2} o ponto é (1,0); para c=-\tfrac{1}{2} o ponto é (-1,0).
  • Se |c|>\tfrac{1}{2}: não existem pontos reais que satisfaçam f(x,y)=c — ou seja, a curva de nível é o conjunto vazio.
Para reforçar e entender por que esse limite \pm\tfrac{1}{2} aparece, é útil ver rapidamente o máximo e o mínimo possíveis de f. Para cada raio r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} temos x\le r, então
f(x,y)=\frac{x}{r^{2}+1}\le \frac{r}{r^{2}+1}.
A função unidimensional g(r)=\dfrac{r}{r^{2}+1} para r\ge 0 tem derivada
g'(r)=\frac{1-r^{2}}{(r^{2}+1)^{2}},
que zera em r=1 e tem g(1)=\tfrac{1}{2}. Portanto o supremo de f é \tfrac{1}{2}. Analogamente, tomando x\ge -r obtém-se o ínfimo -\tfrac{1}{2}. Assim o intervalo imagem de f é \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right]. Consequência imediata: para qualquer c\notin\left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right] não há curvas de nível.

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior aos casos pedidos:
  • Para c=1: |c|=1>\tfrac{1}{2} portanto não existem pontos com f(x,y)=1. Curva de nível: conjunto vazio.
  • Para c=-1: |c|=1>\tfrac{1}{2} portanto conjunto vazio.
  • Para c=2: |c|=2>\tfrac{1}{2} portanto conjunto vazio.
  • Para c=-2: |c|=2>\tfrac{1}{2} portanto conjunto vazio.
Para completar a intuição (não pedida explicitamente, mas útil na hora da prova): se perguntassem por valores de c com curvas não vazias, seriam exatamente |c|<\tfrac{1}{2} (círculos centrados em (1/(2c),0)) e |c|=\tfrac{1}{2} (pontos (\pm 1,0)). O caso c=0 dá a reta x=0.

Resposta

c=1: conjunto vazio.
c=-1: conjunto vazio.
c=2: conjunto vazio.
c=-2: conjunto vazio.

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