Esboce as curvas de nível de
, para os seguintes
:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar as curvas de nível da função
para os valores
. A função dada é
O que precisamos construir, para cada
pedido, é o conjunto
Informações relevantes já dadas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
(coloquei acima). - Os valores de nível pedidos:
, , , .
Passo 2
Transformar a equação de nível
em uma forma mais manejável. Começo escrevendo
Multiplicando ambos os lados por
(note que isso é sempre positivo), obtemos
Reorganizando os termos:
Se
essa equação reduz a
(uma reta vertical); mas como o enunciado pede somente
, vou tratar primeiro o caso geral
.
Passo 3
Para
é conveniente isolar
. A partir de
segue
Agora completo o quadrado em
para escrever como equação de círculo. Escrevo
Complete o quadrado no termo envolvendo
:
Substituindo de volta,
Rearranjando,
Simplificando a razão do lado direito,
Portanto, para
a curva de nível é (formalmente) um círculo com centro em
e raio
desde que o raio seja real.
Passo 4
Condição para existência de pontos reais: é necessário que o lado direito acima seja não negativo, isto é
- Se
: obtemos um círculo de raio positivo e centro em . - Se
: o raio é zero e a curva de nível reduz-se a um ponto: para o ponto é ; para o ponto é . - Se
: não existem pontos reais que satisfaçam — ou seja, a curva de nível é o conjunto vazio.
Para reforçar e entender por que esse limite
aparece, é útil ver rapidamente o máximo e o mínimo possíveis de
. Para cada raio
temos
, então
A função unidimensional
para
tem derivada
que zera em
e tem
. Portanto o supremo de
é
. Analogamente, tomando
obtém-se o ínfimo
. Assim o intervalo imagem de
é
. Consequência imediata: para qualquer
não há curvas de nível.
Passo 5
Aplicando o resultado do passo anterior aos casos pedidos:
- Para
: portanto não existem pontos com . Curva de nível: conjunto vazio. - Para
: portanto conjunto vazio. - Para
: portanto conjunto vazio. - Para
: portanto conjunto vazio.
Para completar a intuição (não pedida explicitamente, mas útil na hora da prova): se perguntassem por valores de
com curvas não vazias, seriam exatamente
(círculos centrados em
) e
(pontos
). O caso
dá a reta
.