Esboce o traço das seguintes curvas parametrizadas.
alpha(t)=(c+a cos t, d+b sen t), t in R, a, b>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
alpha(t) = l(c + acos t,;d + bsin tr), tinR,;a,b>0
e pede para esboçar o traço. O conteúdo aqui é identificação de curvas paramétricas como seções cônicas, e vamos precisar eliminar o parâmetro usando relações trigonométricas.

Passo 2

Definimos
x = c + acos t, y = d + bsin t
Então
x - ca = cos t e y - db = sin t

Passo 3

Usando a identidade cos^2 t + sin^2 t = 1, obtemos
l(tfracx - car)^2 + l(tfracy - dbr)^2 = cos^2t + sin^2t = 1
Essa é a equação de uma elipse centrada em (c,d), com semieixo horizontal a e semieixo vertical b.

Passo 4

Como alpha(t) é 2pi-periódica e em t=0 temos
alpha(0) = (c+a,;d),
à medida que t aumenta de 0 a pi/2 o ponto sobe até (c,d+b). Isso mostra que a orientação do traço é no sentido anti-horário.

Resposta

O traço de alpha é uma elipse de centro (c,d), semieixos de comprimentos a (horizontal) e b (vertical), percorrida no sentido anti-horário.

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