Esboce os traços, as curvas de nível e o gráfico das seguintes funções:
z=6-3 x-2 y

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função z=6-3x-2y:
  • Esboçar os traços (interseções da superfície com planos coordenados e com planos do tipo x= constante ou y= constante).
  • Esboçar as curvas de nível (linhas de nível no plano xy, isto é conjuntos onde z é constante).
  • Esboçar o gráfico da superfície (mostrar como desenhar a superfície no espaço).
Informações dadas:
  • A função é z=6-3x-2y. Não há mais dados numéricos adicionais.

Passo 2

Identificar o tipo de superfície e o vetor normal (aula rápida):
Quando z é uma expressão linear em x e y, a superfície é um plano. Podemos escrever a equação reorganizada para ver a forma padrão:
z+3x+2y=6.
Isto tem a forma Ax+By+Cz=D com A=3, B=2, C=1. O vetor normal à superfície é
\mathbf{n}=(3,2,1).
Interpretando: \mathbf{n} aponta para a direção perpendicular ao plano; saber isso ajuda a entender a inclinação do plano no espaço.

Passo 3

Interceptos com os eixos (método e cálculo):
  • Interseção com o eixo z (quando x=0 e y=0):
z=6-3\cdot0-2\cdot0=6,
logo ponto (0,0,6).
  • Interseção com o eixo x (quando y=0 e z=0): resolver 0=6-3x-2\cdot0\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2, ponto (2,0,0).
  • Interseção com o eixo y (quando x=0 e z=0): resolver 0=6-3\cdot0-2y\Rightarrow 2y=6\Rightarrow y=3, ponto (0,3,0).
Esses três pontos (2,0,0), (0,3,0), (0,0,6) são suficientes para desenhar o plano: basta traçar o triângulo que os conecta e estender.

Passo 4

Traços nas superfícies coordenadas (o que desenhar e por quê):
Traço no plano x=0 (interseção com o plano yz): substituir x=0 em z:
z=6-2y.
Isto é uma reta no plano yz (eixo vertical z, horizontal y), com coeficiente angular -2 (decresce rápido quando y aumenta). Para esboçar, marque y=0\Rightarrow z=6 e y=3\Rightarrow z=0.
Traço no plano y=0 (interseção com o plano xz): substituir y=0:
z=6-3x.
Isto é uma reta no plano xz, com coeficiente angular -3. Para esboçar, marque x=0\Rightarrow z=6 e x=2\Rightarrow z=0.
Traço no plano z=0 (a interseção com o plano xy): colocar z=0:
0=6-3x-2y \quad\Rightarrow\quad 3x+2y=6.
Isto é uma reta no plano xy, com forma y=-\dfrac{3}{2}x+3. Marca os interceptos x=2 e y=3. Essa reta é a base do triângulo de interseção com os eixos.

Passo 5

Traços para x= constante e y= constante (uso prático na prova):
  • Fixando x=a (qualquer constante a), a seção é
z=6-3a-2y.
Isto é uma reta no plano paralelo ao plano yz, com declive -2 e intercepto z( y=0)=6-3a. Para esboçar, escolha alguns a (por exemplo a=0,1,2) e plote as retas correspondentes no plano vertical paralelo a yz.
  • Fixando y=b, a seção é
z=6-2b-3x.
Isto é uma reta no plano paralelo a xz, com declive -3 e intercepto z(x=0)=6-2b. Escolha alguns b (por exemplo b=0,1,3) para ver como as retas descem.
Esses traços verticais ajudam a visualizar a superfície como um conjunto de retas inclinadas variando linearmente.

Passo 6

Curvas de nível (definição prática, fórmula e exemplos para desenhar):
Curvas de nível são as interseções com planos z=c constantes. Fixar z=c em z=6-3x-2y
6-3x-2y=c \quad\Rightarrow\quad 3x+2y=6-c.
Ou isolando y:
y=-\dfrac{3}{2}x + \dfrac{6-c}{2}.
Observações didáticas:
  • Para cada valor de c obtém-se uma reta no plano xy de inclinação -\dfrac{3}{2}.
  • As retas são paralelas (mesma inclinação) e deslocadas verticalmente conforme c.
  • Exemplos práticos para esboço: escolher c=6, c=0, c=-6.
    • Para c=6: a reta é 3x+2y=0 (passa pela origem).
    • Para c=0: a reta é 3x+2y=6 (passa por (2,0) e (0,3)).
    • Para c=-6: a reta é 3x+2y=12 (mais afastada da origem).
  • Distância entre duas curvas de nível correspondentes a c_1 e c_2: a distância entre as retas 3x+2y=k_1 e 3x+2y=k_2 é
\text{dist}=\dfrac{|k_1-k_2|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{|k_1-k_2|}{\sqrt{13}}.
No nosso caso k=6-c, portanto um aumento de \Delta c em z desloca a reta uma distância |\Delta c|/\sqrt{13} no plano xy. Isso é útil para desenhar curvas de nível equidistantes para valores de z igualmente espaçados.

Passo 7

Como esboçar o gráfico no espaço passo a passo (receita prática para a prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos x,y,z com z vertical e x,y no plano horizontal.
  2. Marque os interceptos encontrados: (2,0,0) no eixo x, (0,3,0) no eixo y, e (0,0,6) no eixo z.
  3. Una os três pontos para formar um triângulo; esse triângulo está contido no plano e já dá a inclinação principal.
  4. Desenhe algumas retas de seção: a reta em y=0 no plano xz ( z=6-3x) e a reta em x=0 no plano yz ( z=6-2y). Elas devem passar pelos pontos do triângulo já marcados.
  5. Se quiser mostrar as curvas de nível, projete no plano xy algumas retas paralelas com inclinação -\dfrac{3}{2} correspondentes a z=6,0,-6 e desenhe linhas horizontais na superfície que as correspondam (linhas de interseção entre o plano e planos horizontais).
  6. Sombrar levemente um lado do plano ou traçar linhas de grade (linhas para x=a e y=b) para dar sensação de superfície plana.
Dica: não tente desenhar curvatura — é um plano, então as seções são retas. Concentre-se em posicionar corretamente os interceptos e a orientação (declives nas direções x e y).

Passo 8

Resumo interpretativo (para memorização rápida na prova):
  • A superfície é um plano com vetor normal \mathbf{n}=(3,2,1).
  • Interceptos: (2,0,0), (0,3,0), (0,0,6).
  • Traços principais: x=0\Rightarrow z=6-2y; y=0\Rightarrow z=6-3x; z=0\Rightarrow 3x+2y=6.
  • Curvas de nível: retas 3x+2y=6-c para cada z=c, todas paralelas com inclinação -\dfrac{3}{2}.

Resposta

Traços principais:
x=0:\\ z=6-2y\newline
y=0:\\ z=6-3x\newline
z=0:\\\ 3x+2y=6
Curvas de nível:
\{(x,y):\\\ 3x+2y=6-c\} para cada valor de c (ou seja y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{6-c}{2}); exemplos: c=6\Rightarrow 3x+2y=0, c=0\Rightarrow 3x+2y=6, c=-6\Rightarrow 3x+2y=12.
Gráfico:
Plano que passa por (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,6) (vetor normal \mathbf{n}=(3,2,1)), esboçar ligando esses pontos e completando com retas de seção e curvas de nível paralelas.

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