Esboce os traços, as curvas de nível e o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- Esboçar os traços (interseções da superfície com planos coordenados e com planos do tipo
constante ou constante). - Esboçar as curvas de nível (linhas de nível no plano
, isto é conjuntos onde é constante). - Esboçar o gráfico da superfície (mostrar como desenhar a superfície no espaço).
Informações dadas:
- A função é
. Não há mais dados numéricos adicionais.
Passo 2
Identificar o tipo de superfície e o vetor normal (aula rápida):
Quando é uma expressão linear em
e
, a superfície é um plano. Podemos escrever a equação reorganizada para ver a forma padrão:
Quando
Isto tem a forma
com
,
,
. O vetor normal à superfície é
Interpretando:
aponta para a direção perpendicular ao plano; saber isso ajuda a entender a inclinação do plano no espaço.
Passo 3
Interceptos com os eixos (método e cálculo):
- Interseção com o eixo
(quando e ):
logo ponto
.
- Interseção com o eixo
(quando e ): resolver , ponto . - Interseção com o eixo
(quando e ): resolver , ponto .
Esses três pontos
,
,
são suficientes para desenhar o plano: basta traçar o triângulo que os conecta e estender.
Passo 4
Traços nas superfícies coordenadas (o que desenhar e por quê):
Traço no plano (interseção com o plano
): substituir
em
:
Traço no plano
Isto é uma reta no plano
(eixo vertical
, horizontal
), com coeficiente angular
(decresce rápido quando
aumenta). Para esboçar, marque
e
.
Traço no plano
(interseção com o plano
): substituir
:
Isto é uma reta no plano
, com coeficiente angular
. Para esboçar, marque
e
.
Traço no plano
(a interseção com o plano
): colocar
:
Isto é uma reta no plano
, com forma
. Marca os interceptos
e
. Essa reta é a base do triângulo de interseção com os eixos.
Passo 5
Traços para
constante e
constante (uso prático na prova):
- Fixando
(qualquer constante ), a seção é
Isto é uma reta no plano paralelo ao plano
, com declive
e intercepto
. Para esboçar, escolha alguns
(por exemplo
) e plote as retas correspondentes no plano vertical paralelo a
.
- Fixando
, a seção é
Isto é uma reta no plano paralelo a
, com declive
e intercepto
. Escolha alguns
(por exemplo
) para ver como as retas descem.
Esses traços verticais ajudam a visualizar a superfície como um conjunto de retas inclinadas variando linearmente.
Passo 6
Curvas de nível (definição prática, fórmula e exemplos para desenhar):
Curvas de nível são as interseções com planos constantes. Fixar
em
dá
Curvas de nível são as interseções com planos
Ou isolando
:
Observações didáticas:
- Para cada valor de
obtém-se uma reta no plano de inclinação . - As retas são paralelas (mesma inclinação) e deslocadas verticalmente conforme
. - Exemplos práticos para esboço: escolher
, , . - Para
: a reta é (passa pela origem). - Para
: a reta é (passa por e ). - Para
: a reta é (mais afastada da origem).
- Para
- Distância entre duas curvas de nível correspondentes a
e : a distância entre as retas e é
No nosso caso
, portanto um aumento de
em
desloca a reta uma distância
no plano
. Isso é útil para desenhar curvas de nível equidistantes para valores de
igualmente espaçados.
Passo 7
Como esboçar o gráfico no espaço passo a passo (receita prática para a prova):
- Desenhe um sistema de eixos
com vertical e no plano horizontal. - Marque os interceptos encontrados:
no eixo , no eixo , e no eixo . - Una os três pontos para formar um triângulo; esse triângulo está contido no plano e já dá a inclinação principal.
- Desenhe algumas retas de seção: a reta em
no plano ( ) e a reta em no plano ( ). Elas devem passar pelos pontos do triângulo já marcados. - Se quiser mostrar as curvas de nível, projete no plano
algumas retas paralelas com inclinação correspondentes a e desenhe linhas horizontais na superfície que as correspondam (linhas de interseção entre o plano e planos horizontais). - Sombrar levemente um lado do plano ou traçar linhas de grade (linhas para
e ) para dar sensação de superfície plana.
Dica: não tente desenhar curvatura — é um plano, então as seções são retas. Concentre-se em posicionar corretamente os interceptos e a orientação (declives nas direções
e
).
Passo 8
Resumo interpretativo (para memorização rápida na prova):
- A superfície é um plano com vetor normal
. - Interceptos:
, , . - Traços principais:
; ; . - Curvas de nível: retas
para cada , todas paralelas com inclinação .
Resposta
Traços principais:
\newline
\newline
Curvas de nível:
para cada valor de
(ou seja
); exemplos:
,
,
.
Gráfico:
Plano que passa por ,
e
(vetor normal
), esboçar ligando esses pontos e completando com retas de seção e curvas de nível paralelas.
Plano que passa por