Esboce a trajetória da curva:
F(t)=(e^t cos (t), e^t sen(t)), t >= 0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
F(t)=l(e^tcos(t),,e^tsen(t)r), t>=0
e pede um esboço da trajetória. O conteúdo é curvas paramétricas no plano e, em particular, reconhecimento de sua forma em coordenadas polares.

Passo 2

Escrevemos as componentes como
x(t)=e^tcos t, y(t)=e^tsen t
Em coordenadas polares temos
r(t)=raizx(t)^2+y(t)^2=raize^2t(cos^2t+sen^2t)=e^t,
theta(t)=arctanl(y(t)/x(t)r)=t(para t>=0,;x(t)>0 ao menos no início) í

Passo 3

Concluímos que a curva em coordenadas polares satisfaz
r=e^theta, theta>=0,
ou seja, é uma espiral logarítmica que gira no sentido anti-horário (pois theta cresce) e afasta-se do polo de forma exponencial.

Passo 4

Para t=0 temos (x,y)=(1,0). Conforme t aumenta, o ângulo gira anticlockwise e o raio cresce rapidamente, fazendo voltas cada vez mais afastadas da origem. No esboço, basta desenhar uma espiral que parte de (1,0) e vai se abrindo para fora.

Resposta

A trajetória é a espiral logarítmica de equação polar
r = e^theta, theta >= 0,
que começa em (1,0) e gira indefinidamente afastando-se do polo no sentido anti-horário.
(Esboço: desenho de espiral saindo de (1,0) e abrindo em torno da origem.)

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