Seja F(t)=(ln (t), t, raiz3 t+1, t^2)
(a) Determine o domínio de F
(b) Calcule F(32)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de funções vetoriais, que é um tópico de Cálculo. Precisamos determinar o domínio da função F(t) = ( ln(t), t, raiz3t +1, t^2 ) e depois calcular o valor dessa função quando t = 32 . Para isso, vamos analisar cada componente da função para descobrir quais valores de t são permitidos e depois substituir t por 32 nas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio de F(t) . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, t ) para os quais a função está definida. Como F(t) é uma função vetorial com várias componentes, precisamos garantir que todas as componentes sejam definidas ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos analisar cada componente de F(t) individualmente:
  1. ln(t) : O logaritmo natural está definido apenas para t > 0 , porque não existe logaritmo de número negativo ou zero.
  2. t : Esta é uma função linear simples e está definida para todo número real t .
  3. raiz3t +1 : A raiz quadrada está definida quando o radicando (a expressão dentro da raiz) é maior ou igual a zero. Então, precisamos que 3t + 1 >= 0 .
  4. t^2 : Esta é uma função quadrática e também está definida para todo número real t .

Passo 4

Agora, vamos determinar as restrições para garantir que todas as partes da função estejam definidas:
  • Da primeira componente, sabemos que t > 0 .
  • Da terceira componente, queremos que 3t + 1 >= 0 . Vamos resolver essa inequação:
3t + 1 >= 0 3t >= -1 t >= -13
Então, t >= -13 .

Passo 5

Agora precisamos combinar essas restrições para encontrar o domínio comum a todas as componentes. Temos:
  • t > 0 (da primeira componente)
  • t >= -13 (da terceira componente)
Como t > 0 já é mais restritivo que t >= -13 , o domínio final será onde t > 0 .

Passo 6

Pronto, agora que temos o domínio, vamos para a parte (b) do exercício: calcular F( 32 ) .

Passo 7

Vamos substituir t = 32 em cada componente de F(t) :
  1. ln(t) :
ln( 32 )
  1. t :
32
  1. raiz3t +1 :
raiz3 ( 32 ) + 1 = raiz92 + 1 = raiz112
  1. t^2 :
( 32 )^2 = 94

Resposta

O domínio de F(t) é t > 0 e F( 32 ) = ( ln( 32 ), 32, raiz112, 94 ) .

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