Seja
(a) Determine o domínio de
(b) Calcule
(a) Determine o domínio de
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de funções vetoriais, que é um tópico de Cálculo. Precisamos determinar o domínio da função
e depois calcular o valor dessa função quando
. Para isso, vamos analisar cada componente da função para descobrir quais valores de
são permitidos e depois substituir
por
nas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio de
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
) para os quais a função está definida. Como
é uma função vetorial com várias componentes, precisamos garantir que todas as componentes sejam definidas ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos analisar cada componente de
individualmente:
-
: O logaritmo natural está definido apenas para , porque não existe logaritmo de número negativo ou zero. -
: Esta é uma função linear simples e está definida para todo número real . -
: A raiz quadrada está definida quando o radicando (a expressão dentro da raiz) é maior ou igual a zero. Então, precisamos que . -
: Esta é uma função quadrática e também está definida para todo número real .
Passo 4
Agora, vamos determinar as restrições para garantir que todas as partes da função estejam definidas:
- Da primeira componente, sabemos que
. - Da terceira componente, queremos que
. Vamos resolver essa inequação:
Então,
.
Passo 5
Agora precisamos combinar essas restrições para encontrar o domínio comum a todas as componentes. Temos:
-
(da primeira componente) -
(da terceira componente)
Como
já é mais restritivo que
, o domínio final será onde
.
Passo 6
Pronto, agora que temos o domínio, vamos para a parte (b) do exercício: calcular
.
Passo 7
Vamos substituir
em cada componente de
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Resposta
O domínio de
é
e
.