Esboce (usando um software se necessário) a ciclóide descrita pelas equações paramétricas
x=2(theta-sen theta) ; y=2(1-cos theta) ; 0 <= theta <= 2 pi
De fato, esboce a curva para 0 <= theta <= thetab, com thetab=6 pi ou thetab=8 pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é a pergunta. Temos que esboçar uma ciclóide, que é uma curva gerada por um ponto em uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma linha reta. As equações paramétricas da ciclóide são dadas por:
x = 2(theta - sin theta) y = 2(1 - cos theta)
Onde varia de até (que pode ser ou ). Para resolver isso, vamos precisar entender como usar equações paramétricas para plotar curvas e utilizar um software ou ferramenta gráfica para desenhar a ciclóide.

Passo 2

Vamos começar identificando os componentes das equações paramétricas:
  • : Esta equação nos dá a posição horizontal do ponto na curva em função de .
  • : Esta equação nos dá a posição vertical do ponto na curva em função de .
Aqui, é o parâmetro que varia e determina a posição do ponto na curva.

Passo 3

Agora, vamos definir o intervalo de 0 <= theta <= 6pi ou 0 <= theta <= 8pi que vamos utilizar para esboçar a ciclóide. O enunciado nos dá dois possíveis valores para : e . Isso significa que iremos plotar a curva para:
Isso corresponde a desenhar a ciclóide para três ou quatro voltas completas, já que uma voltinha completa ocorre quando varia de a .

Passo 4

Para esboçar a ciclóide, podemos usar um software como o Desmos, GeoGebra ou até mesmo Python com a biblioteca matplotlib. Vou mostrar como fazer isso usando Python, já que é uma ferramenta bastante acessível.
Primeiro, precisamos instalar a biblioteca matplotlib se ainda não a tiver:
pip install matplotlib
Em seguida, podemos usar o seguinte código para plotar a ciclóide:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definindo o intervalo de theta
theta_b = 6 * np.pi  # Altere para 8*np.pi se quiser 4 voltas
theta = np.linspace(0, theta_b, 1000)

# Calculando x e y
x = 2 * (theta - np.sin(theta))
y = 2 * (1 - np.cos(theta))

# Plotando a ciclóide
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label=f'Ciclóide para θ até {theta_b} radianos')
plt.title('Esboço da Ciclóide')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
Esse código gera o esboço da ciclóide para o intervalo especificado de . Se você quiser plotar para , basta alterar a linha:
theta_b = 6 * np.pi
para
theta_b = 8 * np.pi

Resposta

Seguindo os passos acima, você poderá esboçar a ciclóide para ou utilizando um software de sua preferência. O gráfico resultante mostrará a trajetória ondulada típica da ciclóide, repetindo-se a cada radianos.

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