Esboce (usando um software se necessário) a ciclóide descrita pelas equações paramétricas
De fato, esboce a curva para
ou
.
De fato, esboce a curva para
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é a pergunta. Temos que esboçar uma ciclóide, que é uma curva gerada por um ponto em uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma linha reta. As equações paramétricas da ciclóide são dadas por:
Onde
varia de
até
(que pode ser
ou
). Para resolver isso, vamos precisar entender como usar equações paramétricas para plotar curvas e utilizar um software ou ferramenta gráfica para desenhar a ciclóide.
Passo 2
Vamos começar identificando os componentes das equações paramétricas:
-
: Esta equação nos dá a posição horizontal do ponto na curva em função de . -
: Esta equação nos dá a posição vertical do ponto na curva em função de .
Aqui,
é o parâmetro que varia e determina a posição do ponto na curva.
Passo 3
Agora, vamos definir o intervalo de
que vamos utilizar para esboçar a ciclóide. O enunciado nos dá dois possíveis valores para
:
e
. Isso significa que iremos plotar a curva para:
Isso corresponde a desenhar a ciclóide para três ou quatro voltas completas, já que uma voltinha completa ocorre quando
varia de
a
.
Passo 4
Para esboçar a ciclóide, podemos usar um software como o Desmos, GeoGebra ou até mesmo Python com a biblioteca matplotlib. Vou mostrar como fazer isso usando Python, já que é uma ferramenta bastante acessível.
Primeiro, precisamos instalar a biblioteca matplotlib se ainda não a tiver:
pip install matplotlib
Em seguida, podemos usar o seguinte código para plotar a ciclóide:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Definindo o intervalo de theta
theta_b = 6 * np.pi # Altere para 8*np.pi se quiser 4 voltas
theta = np.linspace(0, theta_b, 1000)
# Calculando x e y
x = 2 * (theta - np.sin(theta))
y = 2 * (1 - np.cos(theta))
# Plotando a ciclóide
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, y, label=f'Ciclóide para θ até {theta_b} radianos')
plt.title('Esboço da Ciclóide')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
Esse código gera o esboço da ciclóide para o intervalo especificado de
. Se você quiser plotar para
, basta alterar a linha:
theta_b = 6 * np.pi
para
theta_b = 8 * np.pi
Resposta
Seguindo os passos acima, você poderá esboçar a ciclóide para
ou
utilizando um software de sua preferência. O gráfico resultante mostrará a trajetória ondulada típica da ciclóide, repetindo-se a cada
radianos.