Uma escada de 10 m está encostada em uma parede (vertical). Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 3 m / s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 6 m da parede?

Passo 1

O enunciado nos dá uma escada de 10 m apoiada numa parede vertical e informa que a base da escada afasta-se da parede a uma velocidade constante de 3 m/s. Precisamos encontrar a velocidade com que o topo da escada desce quando a base está a 6 m da parede. O conteúdo usado será derivação implícita em uma relação de triângulo retângulo.

Passo 2

Definimos x como a distância da base da escada ao pé da parede e y como a altura da extremidade superior em relação ao chão. Pelo Teorema de Pitágoras temos
x^2 + y^2 = 10^2 = 100

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação ao tempo t, obtemos
2x,dxdt + 2y,dydt = 0
Isolando dydt resulta
dydt = -xy,dxdt

Passo 4

No instante em que x = 6 m, a altura é
y = raiz100 - 6^2 = raiz64 = 8 m
Substituindo x=6, y=8 e dxdt=3 m/s em dydt = -xy,dxdt, temos
dydt = -68 times 3 = -188 = -94,m/s

Resposta

-tfrac94,m/s

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