Uma partícula de massa m=1 \mathrm{~kg} cai de uma altura h=200 \mathrm{~m}, a partir do repouso, atingindo o solo e penetrando 15 cm na areia antes de parar. (a) Calcule a velocidade com que a partícula atinge o solo ( 63,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ). (b) Calcule a força média exercida pela areia sobre a partícula (13,33 \mathrm{kN}).

Passo 1

Resumo do enunciado: uma partícula de massa m=1\>\mathrm{kg} cai de repouso de altura h=200\>\mathrm{m}, atinge o solo com certa velocidade e penetra d=0,15\>\mathrm{m} na areia até parar. Conteúdo: cinemática de queda livre e dinâmica com desaceleração constante. Vamos primeiro achar a velocidade ao atingir o solo usando a equação de Torricelli, depois calcular a desaceleração média na areia e, por fim, a força média exercida pela areia.

Passo 2

Para a queda livre com aceleração constante g, a equação de Torricelli dá a velocidade final v em função da altura:
v^{2}=v_{0}^{2}+2\,g\,h.
Como parte de repouso ( v_{0}=0) e adotando g=10\>\mathrm{m/s^{2}}, temos
v^{2}=2\cdot10\cdot200=4000 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{4000}\approx63{,}25\>\mathrm{m/s}.

Passo 3

Ao penetrar na areia, a partícula sofre desaceleração constante a que a leva de v a zero em distância d. Aplicamos novamente Torricelli:
0=v^{2}+2\,a\,d \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{v^{2}}{2\,d}.
Substituindo v\approx63{,}25\>\mathrm{m/s} e d=0,15\>\mathrm{m},
a=-\frac{(63{,}25)^{2}}{2\cdot0{,}15} =-\frac{4000}{0{,}3}\approx-13333{,}3\>\mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

A magnitude da força média que a areia exerce sobre a partícula é
F_{\text{média}}=m\,|a| =1\cdot13333{,}3\approx13333{,}3\>\mathrm{N} \approx13{,}33\>\mathrm{kN}.é

Resposta

(a) v\approx63{,}25\>\mathrm{m/s}.
(b) F_{\text{média}}\approx13{,}33\>\mathrm{kN}.é

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