1. Uma escada de bombeiro de 25 m de comprimento está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante t0, a base da escada se encontra a 7 m da parede e sua velocidade é de 2 m / s. Calcule:
    a) A velocidade do topo da escada no instante t0.
    b) A taxa de variação, no instante t0, da área do triângulo formado pela parede do prédio, pela escada e pelo solo.

Passo 1

O enunciado fala de uma escada de bombeiro de comprimento constante igual a 25 m, encostada numa parede vertical. A base da escada se afasta da parede com velocidade conhecida em um instante t0. Precisamos usar derivação implícita (taxas relacionadas) para encontrar em (a) a velocidade do topo da escada (variação de y) e em (b) a taxa de variação da área do triângulo formado pela escada, pela parede e pelo solo.

Passo 2

Denotemos por x(t) a distância da base da escada à parede e por y(t) a altura do topo da escada na parede. Como o comprimento da escada é constante, vale
x^2 + y^2 = 25^2 = 625
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, usando derivada de soma e regra da cadeia, obtemos
2x,dxdt + 2y,dydt = 0

Passo 3

No instante t0, temos x=7 m e dxdt=2 m/s. Primeiro determinamos y usando o teorema de Pitágoras:
y = raiz625 - 7^2 = raiz625 - 49 = raiz576 = 24 m

Passo 4

Na equação diferenciada,
2x,dxdt + 2y,dydt = 0
isola-se dydt:
dydt = -xy,dxdt = -724times 2 = -712 m/s

Passo 5

Agora consideramos a área do triângulo formado pela parede, pelo solo e pela escada:
A = 12,x,y
Derivando em relação ao tempo,
dAdt = 12l(x,dydt + y,dxdtr)

Passo 6

Substituindo x=7, y=24, dxdt=2 e dydt=-tfrac712:
dAdt = 12l(7cdotl(-tfrac712r) + 24cdot2r) = 12l(-tfrac4912 + 48r) = 12l(tfrac52712r) = 52724 m^2!/s

Resposta

a) dydt=-tfrac712 m/s.
b) dAdt=tfrac52724 m^2!/s.

Exercícios relacionados