- Uma escada de bombeiro de 25 m de comprimento está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante
, a base da escada se encontra a 7 m da parede e sua velocidade é de
. Calcule:
a) A velocidade do topo da escada no instante
.
b) A taxa de variação, no instante
, da área do triângulo formado pela parede do prédio, pela escada e pelo solo.
a) A velocidade do topo da escada no instante
b) A taxa de variação, no instante
Passo 1
O enunciado fala de uma escada de bombeiro de comprimento constante igual a
m, encostada numa parede vertical. A base da escada se afasta da parede com velocidade conhecida em um instante
. Precisamos usar derivação implícita (taxas relacionadas) para encontrar em (a) a velocidade do topo da escada (variação de
) e em (b) a taxa de variação da área do triângulo formado pela escada, pela parede e pelo solo.
Passo 2
Denotemos por
a distância da base da escada à parede e por
a altura do topo da escada na parede. Como o comprimento da escada é constante, vale
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
, usando derivada de soma e regra da cadeia, obtemos
Passo 3
No instante
, temos
m e
m/s. Primeiro determinamos
usando o teorema de Pitágoras:
Passo 4
Na equação diferenciada,
isola-se
:
Passo 5
Agora consideramos a área do triângulo formado pela parede, pelo solo e pela escada:
Derivando em relação ao tempo,
Passo 6
Substituindo
,
,
e
:
Resposta
a)
.
b) .
b)