- Um reservatório no formato de um cone circular reto, na vertical, é enchido de água a uma taxa constante de
. O vértice do cone se encontra a 40 m de profundidade e o raio do topo do reservatório mede 4 m . Qual a velocidade da coluna de água no reservatório no instante em que sua altura é de 5 m ?
Passo 1
O enunciado descreve um reservatório em forma de cone circular reto, com altura total
m (vértice no fundo) e raio do topo
m. A água entra a uma taxa constante
e queremos a velocidade de subida da altura de água, ou seja
, quando
m. Para resolver, vamos usar semelhança de triângulos e taxas relacionadas (derivadas em relação ao tempo).
Passo 2
Por semelhança de triângulos, o raio
da superfície da água quando a altura é
satisfaz
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Passo 3
O volume de um cone de raio
e altura
é
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Como
, temos
Passo 5
Substituindo
m: