1. Um reservatório no formato de um cone circular reto, na vertical, é enchido de água a uma taxa constante de 1 m^3 / s. O vértice do cone se encontra a 40 m de profundidade e o raio do topo do reservatório mede 4 m . Qual a velocidade da coluna de água no reservatório no instante em que sua altura é de 5 m ?

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório em forma de cone circular reto, com altura total H=40 m (vértice no fundo) e raio do topo R=4 m. A água entra a uma taxa constante
dVdt=1;m^3/s
e queremos a velocidade de subida da altura de água, ou seja dhdt, quando h=5 m. Para resolver, vamos usar semelhança de triângulos e taxas relacionadas (derivadas em relação ao tempo).

Passo 2

Por semelhança de triângulos, o raio r da superfície da água quando a altura é h satisfaz
rh=RH=440=110
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r=h10

Passo 3

O volume de um cone de raio r e altura h é
V=13,pi,r^2,h
Substituindo r=h/10, obtemos
V=13,pil(h10r)^2h =pi3,h^3100 =pi300,h^3

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação a t:
dVdt =pi300cdot 3h^2dhdt =pi100,h^2dhdt
Como dVdt=1, temos
1=pi100,h^2dhdt Longrightarrow dhdt =100pi,h^2

Passo 5

Substituindo h=5 m:
dhdt =100pi,(5)^2 =10025pi =4pi;m/s

Resposta

dhdt=4pi;m/s

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