Uma escada (considere como uma haste homogênea) de comprimento L=6,00 m e massa M=10,0 kg está encostada em uma parede lisa sem atrito. A extremidade superior da escada está a uma altura h=3,00 m acima do piso horizontal onde a extremidade inferior está apoiada (existe atrito entre a escada e o piso). Determine o módulo da força exercida pela parede.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma escada de 6 metros de comprimento e 10 kg de massa encostada numa parede lisa. A parte de cima está a 3 metros de altura do chão. Nosso objetivo é encontrar a força que a parede exerce na escada. Vamos usar conceitos de estática, ou seja, equilíbrio de forças e torque, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inclinação da escada. Sabemos que a escada tem comprimento $ L = 6,00 , m $ e a altura $ h = 3,00 , m $. Podemos usar trigonometria para encontrar o ângulo $ \theta $ que a escada forma com o chão:
L = 6,00 , m

Passo 3

Agora, vamos identificar todas as forças atuando na escada:
  1. Peso ($ P $): A força da gravidade, que age no centro da escada. $ P = M \cdot g = 10,0 , kg \times 9,81 , m/s^2 = 98,1 , N $.
  2. Força Externa da Parede ($ F_p $): Como a parede é lisa, essa força é horizontal.
  3. Reação no Chão: Tem duas componentes:
    • Normal ($ N $): Vertical, igual ao peso para equilíbrio vertical.
    • Atrito ($ f $): Horizontal, que contrabalança a força da parede.

Passo 4

Para manter a escada em equilíbrio, a soma das forças horizontais e verticais deve ser zero, e o torque também deve ser zero. Vamos começar pelo equilíbrio de forças:
sum Fx = 0 implies Fp = f
sum Fy = 0 implies N = P = 98,1 , N
Agora, usamos o torque. Vamos escolher o ponto de contato com o chão como pivô para facilitar, já que assim a força de atrito e a normal não entram na equação de torque. O torque causado pelo peso e pela força da parede devem se equilibrar:
sum tau = 0 implies P cdot ( L2 cos(theta) ) = Fp cdot (L sin(theta))

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
98,1 , N times ( 6,00 , m2 times cos(30^circ) ) = Fp times (6,00 , m times sin(30^circ))
Calculando os cossenos e senos:
cos(30^circ) = raiz32 approx 0,866
sin(30^circ) = 0,5
Substituindo:
98,1 times 3,00 times 0,866 = Fp times 3,00
98,1 times 2,598 approx Fp times 3,00
254,4 approx 3,00 times Fp
Fp approx 254,43,00 approx 84,8 , N

Resposta

A força exercida pela parede na escada é aproximadamente $ 85 , N $.

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