Uma escada (considere como uma haste homogênea) de comprimento L=6,00 m e massa M=10,0 kg está encostada em uma parede lisa sem atrito. A extremidade superior da escada está a uma altura h=3,00 m acima do piso horizontal onde a extremidade inferior está apoiada (existe atrito entre a escada e o piso). Determine o módulo da força exercida pelo piso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma escada de 6 metros de comprimento e 10 quilos de massa encostada numa parede lisa, ou seja, sem atrito. A parte de cima está a 3 metros do chão. Nosso objetivo é descobrir qual é a força que o chão está exercendo na escada. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de estática, que é a parte da física que estuda o equilíbrio das forças.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na escada:
  1. Peso ( P): É a força que a Terra exerce sobre a escada, direcionada para baixo. Calculamos usando P = M times g, onde g é a aceleração da gravidade ( 9,8 , m/s^2).
  2. Força normal do piso ( N): É a força que o chão exerce para cima na escada, perpendicular à superfície.
  3. Força de atrito ( f): Como o chão está em contato com a escada e há atrito, essa força impede que a escada deslize. Ela atua horizontalmente.
  4. Força da parede ( Fparede): A parede é lisa, então essa força é apenas horizontal.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de equilíbrio estático. Para que a escada esteja em equilíbrio, a soma das forças em todas as direções e a soma dos torques (momentos) em relação a qualquer ponto devem ser zero.
Equilíbrio nas direções horizontal e vertical:
  • Horizontal:
    Fparede = f
  • Vertical:
    N = P
Equilíbrio de torques:
Vamos calcular o torque em relação ao ponto onde a escada toca o chão para eliminar as forças desconhecidas N e f.
A fórmula do torque ( tau) é:
tau = F times d times sin(theta)
onde:
  • F é a força,
  • d é a distância,
  • theta é o ângulo entre a força e a distância.
Escolhemos o ponto de contato com o chão porque assim as forças N e f não criam torque nesse ponto.
Torque devido ao peso ( P):
O peso atua no centro da massa, que está no meio da escada, a 3 metros do chão.
tauP = P times (L2) times cos(alpha)
onde alpha é o ângulo que a escada faz com o chão.
Torque devido à força da parede ( Fparede):
tauparede = Fparede times L times sin(alpha)
Como a escada está em equilíbrio:
tauP = tauparede

Passo 4

Vamos agora calcular os valores:
  1. Primeiro, encontramos o ângulo alpha que a escada faz com o chão usando trigonometria:
sin(alpha) = hL = 3,00 , m6,00 , m = 0,5
alpha = arcsin(0,5) = 30^circ
  1. Calculamos o peso ( P):
P = M times g = 10,0 , kg times 9,8 , m/s^2 = 98 , N
  1. Aplicando no torque:
tauP = 98 , N times 3,00 , m times cos(30^circ)
cos(30^circ) approx 0,866
tauP approx 98 times 3 times 0,866 approx 254,7 , N cdot m
tauparede = Fparede times 6,00 , m times sin(30^circ)
sin(30^circ) = 0,5
tauparede = Fparede times 6 times 0,5 = 3 times Fparede
Igualando os torques:
254,7 = 3 times Fparede
Fparede = 254,73 approx 84,9 , N
  1. Como Fparede = f, então:
f = 84,9 , N
  1. Finalmente, a força total exercida pelo piso ( Fpiso) considera a força normal e a força de atrito, formando um triângulo retângulo:
Fpiso = raizN^2 + f^2 = raiz98^2 + 84,9^2 approx raiz9604 + 7206,01 approx raiz16810,01 approx 129,7 , N

Resposta

A força exercida pelo piso na escada é aproximadamente 130 N.

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