A que altitude h acima da superficie da Terra a aceleração gravitacional é metade da aceleração na superficie da Terra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é: A que altitude $ h $ acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é metade da aceleração na superfície da Terra? Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação e leis de Newton. Precisamos entender como a gravidade varia com a distância da Terra e aplicar essas ideias para encontrar a altitude que buscamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a aceleração da gravidade funciona. A fórmula para a aceleração gravitacional $ g $ em uma distância $ r $ do centro da Terra é:
g
Aqui:
  • $ G $ é a constante da gravitação universal,
  • $ M $ é a massa da Terra,
  • $ r $ é a distância do centro da Terra até o ponto onde estamos medindo a gravidade.
Na superfície da Terra, essa distância é o raio da Terra $ R $, então a aceleração gravitacional na superfície é:
r

Passo 3

A questão quer saber a altura $ h $ onde a aceleração gravitacional é metade da que está na superfície. Ou seja:
h
Substituindo as fórmulas, temos:
g(h) = dfracg02
Os termos $ G $ e $ M $ aparecem nos dois lados da equação e podem ser cancelados, simplificando para:
dfracG cdot M(R + h)^2 = dfrac12 cdot dfracG cdot MR^2

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ h $. Primeiro, vamos inverter os dois lados para facilitar:
h
Em seguida, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
(R + h)^2 = 2R^2
Agora, isolamos $ h $:
R + h = raiz2 cdot R

Passo 5

Para encontrar o valor numérico de $ h $, precisamos saber o raio da Terra $ R $. Geralmente, consideramos $ R \approx 6.371 $ km. Substituindo na equação:
h
Calculando $ \sqrt{2} \approx 1.4142 $:
R

Resposta

A altitude $ h $ onde a aceleração gravitacional é metade da aceleração na superfície da Terra é aproximadamente 2.638 quilômetros acima da superfície.

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