A que altitude
acima da superficie da Terra a aceleração gravitacional é metade da aceleração na superficie da Terra?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é: A que altitude $ h $ acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é metade da aceleração na superfície da Terra? Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação e leis de Newton. Precisamos entender como a gravidade varia com a distância da Terra e aplicar essas ideias para encontrar a altitude que buscamos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a aceleração da gravidade funciona. A fórmula para a aceleração gravitacional $ g $ em uma distância $ r $ do centro da Terra é:
Aqui:
- $ G $ é a constante da gravitação universal,
- $ M $ é a massa da Terra,
- $ r $ é a distância do centro da Terra até o ponto onde estamos medindo a gravidade.
Na superfície da Terra, essa distância é o raio da Terra $ R $, então a aceleração gravitacional na superfície é:
Passo 3
A questão quer saber a altura $ h $ onde a aceleração gravitacional é metade da que está na superfície. Ou seja:
Substituindo as fórmulas, temos:
Os termos $ G $ e $ M $ aparecem nos dois lados da equação e podem ser cancelados, simplificando para:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ h $. Primeiro, vamos inverter os dois lados para facilitar:
Em seguida, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Agora, isolamos $ h $:
Passo 5
Para encontrar o valor numérico de $ h $, precisamos saber o raio da Terra $ R $. Geralmente, consideramos $ R \approx 6.371 $ km. Substituindo na equação:
Calculando $ \sqrt{2} \approx 1.4142 $:
Resposta
A altitude $ h $ onde a aceleração gravitacional é metade da aceleração na superfície da Terra é aproximadamente 2.638 quilômetros acima da superfície.