Uma escada para fuga de incêndio de comprimento L e peso P encontra-se em equilíbrio, apoiada em uma calçada e o seu topo é mantido preso a um pivô. O atrito entre a base da escada e a calçada é desprezível. O centro de gravidade da escada coincide com o seu centro geométrico. A uma distância L / 3 da base da escada encontra-se um bombeiro de peso 3 P. A escada faz um ângulo \theta com a horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a escada
pela calçada

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o módulo, a direção e o sentido da força que a calçada (o chão) exerce sobre a escada.
Informações dadas (peguei alguns desses dados da figura):
  • A escada tem comprimento L e peso P.
  • O centro de gravidade da escada coincide com o centro geométrico (ou seja, o peso P age no ponto médio da escada, a uma distância L/2 da base).
  • Um bombeiro de peso 3P está sobre a escada a uma distância L/3 da base (peguei essa posição da imagem).
  • O topo da escada está preso a um pivô fixo na parede; o contato no topo pode exercer forças (reação do pivô).
  • O atrito entre a base da escada e a calçada é desprezível (peguei isso do enunciado e da figura).
  • A escada faz um ângulo \theta com a horizontal (peguei \theta indicado na figura).
Resumo do objetivo: calcular a força da calçada sobre a escada (isto é, a reação no ponto de contato com o solo), indicando seu módulo, direção e sentido.

Passo 2

Fazer o diagrama de forças e entender quais forças atuam:
  • Peso da escada: força vertical para baixo de módulo P, aplicada no ponto médio (distância L/2 da base, medida ao longo da escada).
  • Peso do bombeiro: força vertical para baixo de módulo 3P, aplicada a uma distância L/3 da base (medida ao longo da escada).
  • Reação da calçada na base: chamaremos N. Como o atrito é desprezível e o chão é horizontal, a reação do solo é perpendicular ao chão, isto é, vertical. Portanto N é vertical (para cima ou para baixo — vamos ver que sentido).
  • Reação do pivô no topo: tem componentes horizontal R_x e vertical R_y. Não conhecemos essas componentes e não precisamos calculá‑las se usarmos o torque em torno do pivô.
Observação didática rápida sobre normal/fricção:
  • “Normal” é a força que a superfície aplica perpendicularmente. Se não há atrito, a superfície não aplica força tangencial. Aqui, chão horizontal + sem atrito → reação somente vertical.

Passo 3

Condições de equilíbrio (estáticas) que vamos usar:
  • Soma das forças verticais = 0:
N + R_y - P - 3P = 0.
(isto é, N + R_y - 4P = 0.)
  • Soma das forças horizontais = 0:
R_x = 0
(no ponto da base não há força horizontal porque o atrito é desprezível).
  • Soma dos torques (momentos) = 0. Escolhemos o pivô no topo como ponto para tomar momentos porque assim as duas componentes R_x,R_y do pivô não contribuem (braço nulo), simplificando muito o cálculo.
Explicação didática sobre torque/momento:
  • O momento de uma força em relação a um ponto é dado por \text{momento} = \text{força} \times \text{braço perpendicular}çç, onde o braço perpendicular é a distância entre o ponto e a linha de ação da força medida perpendicularmente.
  • Para forças verticais aplicadas em pontos sobre a escada, esse braço perpendicular em relação ao pivô é a projeção horizontal da distância entre o pivô e o ponto de aplicação, que é o comprimento ao longo da escada multiplicado por \cos\theta.

Passo 4

Calcular momentos (torques) em relação ao pivô (tomando momento positivo no sentido anti-horário e negativo no horário, ou vice‑versa — aqui farei: somar torques com sinais coerentes e igualar a zero).
Primeiro, determinar as distâncias desde o pivô até cada força, medidas ao longo da escada e suas projeções horizontais:
  • Distância (ao longo da escada) do pivô até a base = L. A projeção horizontal é L\cos\theta.
  • Distância do pivô até o centro da escada (onde age P) = L - \dfrac{L}{2} = \dfrac{L}{2}. A projeção horizontal é \dfrac{L}{2}\cos\theta.
  • Distância do pivô até o bombeiro (posição medida a partir da base L/3) = L - \dfrac{L}{3} = \dfrac{2L}{3}. A projeção horizontal é \dfrac{2L}{3}\cos\theta.
Agora os momentos produzidos por cada força (todas as forças de peso são verticais para baixo):
  • Momento devido ao peso da escada P: magnitude P \times \left(\dfrac{L}{2}\cos\theta\right). Esse momento tende a girar a escada no sentido horário com respeito ao pivô (vamos considerar horário positivo para soma — qualquer convenção serve, desde que consistente).
  • Momento devido ao bombeiro 3P: magnitude 3P \times \left(\dfrac{2L}{3}\cos\theta\right) = 2PL\cos\theta. Também tende a girar no mesmo sentido horário.
  • Momento devido à reação do solo N (força vertical para cima): magnitude N \times (L\cos\theta). Essa força produz momento no sentido oposto (anti-horário) em relação ao pivô.
Escrevendo a condição de soma de torques = 0 (momento anti-horário positivo minus horário = 0), ou simplesmente equilibrando momentos anti-horário e horário:
N \cdot (L\cos\theta) \;=\; P\cdot\left(\tfrac{L}{2}\cos\theta\right) \;+\; 3P\cdot\left(\tfrac{2L}{3}\cos\theta\right).

Passo 5

Resolver a equação dos momentos passo a passo (fatorando termos comuns):
N L\cos\theta = P\cdot\frac{L}{2}\cos\theta + 3P\cdot\frac{2L}{3}\cos\theta.
Calcule os termos do lado direito:
P\cdot\frac{L}{2}\cos\theta = \frac{1}{2}PL\cos\theta,
3P\cdot\frac{2L}{3}\cos\theta = 2PL\cos\theta.
Somando:
\frac{1}{2}PL\cos\theta + 2PL\cos\theta = \left(\frac{1}{2}+2\right)PL\cos\theta = \frac{5}{2}PL\cos\theta.
Logo a equação fica:
N L\cos\theta = \frac{5}{2}PL\cos\theta.
Como L\cos\theta é diferente de zero (comprimento e ângulo não nulos), podemos cancelar L\cos\theta dos dois lados, obtendo:
N = \frac{5}{2}P.

Passo 6

Interpretação final e verificação com as equações de força:
  • Encontramos que a força vertical da calçada sobre a escada é N=\dfrac{5}{2}P dirigida para cima (sentido oposto aos pesos).
  • Isso faz sentido: somando forças verticais para verificar, teríamos N + R_y - 4P = 0, então R_y = 4P - N = 4P - \dfrac{5}{2}P = \dfrac{3}{2}P. Ou seja, o pivô fornece a componente vertical restante; não precisamos do valor de R_y para responder a pergunta, mas é coerente que o pivô também suporte parte do peso.
  • Direção: vertical (perpendicular ao chão).
  • Sentido: para cima (a calçada empurra a escada para cima para equilibrar os pesos).
Pequena nota prática: o resultado não depende de \theta — isso acontece porque todas as forças verticais têm braços proporcionais a \cos\theta, que se cancelam na equação dos momentos.

Resposta

N=\dfrac{5}{2}P (módulo); direção vertical (perpendicular ao chão); sentido para cima (a calçada empurra a escada para cima).

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