Um ponto móvel desloca-se, em um sistema de coordenadas cartesianas, ao longo da circunferência x^2+y^2=r^2(r constante) com uma velocidade cuja componente em x é dada por d x / d t=y c m / s e g. Calcule a componente da velocidade em y, d y / d t. Seja theta o deslocamento angular desse ponto móvel, medido a partir do ponto (1,0) no sentido anti-horário. Calcule a velocidade angular d theta / d t.
(R: d y / d t=-x, d theta / d t=-1).

Passo 1

O enunciado diz que um ponto se move na circunferência x^2 + y^2 = r^2 e que sua componente horizontal da velocidade é dx/dt = y. Precisamos achar a componente vertical dy/dt e, depois, a velocidade angular dtheta/dt, onde theta é o ângulo que o raio faz com o eixo x positivo. Vamos usar diferenciação implícita e a relação entre coordenadas cartesianas e polares.

Passo 2

Para encontrar dy/dt, aplicamos a derivada em relação a t na equação da circunferência. Temos:
ddt(x^2 + y^2) = 2xdxdt + 2ydydt = 0

Passo 3

Como dx/dt = y, substituímos na expressão:
2x,(y) + 2ydydt = 0

Passo 4

Dividindo por 2 e isolando dy/dt:
x,y + ydydt = 0
ydydt = -x,y
dydt = -x

Passo 5

Para achar dtheta/dt, usamos as coordenadas polares: x = rcostheta e y = rsintheta. Diferenciando x em relação a t:
dxdt = ddtl(rcosthetar) = -rsintheta,dthetadt

Passo 6

Como rsintheta = y e dx/dt = y, ficamos com:
y = -y,dthetadt

Passo 7

Supondo yneq0, podemos dividir por y e obter:
dthetadt = -1

Resposta

dy/dt = -x,; dtheta/dt = -1

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