Uma escada de 5 metros de comprimento se encontra encostada a um muro a uma altura de 4 metros. Sendo a escada uniforme e tendo uma massa de 12 kg determine até que ponto uma pessoa de 58 kg pode subir antes que a escada comece a escorregar. Assuma que o coeficiente de atrito entre a escada e o chão é 0,4 e que não há atrito entre a escada e o muro.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e ver o que a gente precisa:
• Enunciado em poucas linhas:
– Uma escada homogênea de comprimento m e massa kg encostada num muro atinge m de altura.
– Uma pessoa de massa kg vai subindo.
– Atrito chão–escada: . Atrito muro–escada: zero.
– Queremos saber até que distância (ao longo da escada) a pessoa pode subir antes de ela começar a escorregar.
Conteúdo: estática de corpos rígidos (equilíbrio de forças e torques) + atrito.
O que vamos usar:
  1. Equilíbrio de forças (vertical e horizontal) no pé da escada.
  2. Equilíbrio de torques (momento) tomando ponto de apoio no chão.
  3. Atrito máximo .

Passo 2

Primeiro a gente monta o diagrama e acha o ângulo sinalpha=45 Longrightarrow alphaapprox 53,13^circ que a escada faz com o chão.
Como a altura é 4 m e o comprimento é 5 m,
As forças principais no pé da escada são:
– Normal vertical (do chão para cima).
– Atrito horizontal (impede a escada de deslizar para fora).
No topo, só há reação horizontal (o muro empurra a escada para fora).

Passo 3

Equilíbrio de forças:
  1. Soma das forças verticais = 0 ⇒
N - mescg - mp g = 0 Longrightarrow N = (mesc + mp),g
  1. Soma das forças horizontais = 0 ⇒
Fa - H = 0 Longrightarrow H = Fa

Passo 4

Equilíbrio de torques (momento) tomando como pivô o pé da escada.
– Momento do peso da escada ( H;Lsinalpha ;=; mescg,(L/2)cosalpha ;+; mp g,(x)cosalpha ) age no centro, a do pé, alavanca horizontal .
– Momento do peso da pessoa ( ) age a uma distância ao longo da escada, alavanca horizontal .
– Momento da reação do muro age no topo, alavanca vertical .
A condição de equilíbrio de torques (soma dos momentos “tendendo a girar no mesmo sentido”) é

Passo 5

A escada começa a escorregar exatamente quando mu,(mesc+mp)g,Lsinalpha = gcosalphal(mesctfracL2+mp,xr) atinge o atrito máximo x = mu (mesc+mp),Lsinalpha/cosalpha ;-; mesctfracL2mp = mu (mesc+mp),Ltanalpha ;-; mesctfracL2mp .
Substituindo e na equação de torques:
[
\mu,(m_{esc}+m_p)g,L\sin\alpha

g\cos\alpha\Bigl(m_{esc}\tfrac{L}{2}+m_p,x\Bigr).
]
Cancelamos e isolamos :
[
x

\frac{\mu (m_{esc}+m_p),L\sin\alpha/\cos\alpha ;-; m_{esc}\tfrac{L}{2}}{m_p}

\frac{\mu (m_{esc}+m_p),L\tan\alpha ;-; m_{esc}\tfrac{L}{2}}{m_p}.
]

Passo 6

Agora é só pôr números:
mesc=12, mp=58, L=5, tanalpha=43, mu=0.4
[
x

\frac{0.4,(12+58),5,(4/3);-;12\cdot(5/2)}{58}
\approx
\frac{186.67-30}{58}
\approx2{,}70\ m.
]

Resposta

A pessoa pode subir até aproximadamente m ao longo da escada antes de ela começar a escorregar.

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