Uma escada de 5 metros de comprimento se encontra encostada a um muro a uma altura de 4 metros. Sendo a escada uniforme e tendo uma massa de 12 kg determine até que ponto uma pessoa de 58 kg pode subir antes que a escada comece a escorregar. Assuma que o coeficiente de atrito entre a escada e o chão é 0,4 e que não há atrito entre a escada e o muro.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e ver o que a gente precisa:
• Enunciado em poucas linhas:
– Uma escada homogênea de comprimento m e massa
kg encostada num muro atinge
m de altura.
– Uma pessoa de massa kg vai subindo.
– Atrito chão–escada: . Atrito muro–escada: zero.
– Queremos saber até que distância (ao longo da escada) a pessoa pode subir antes de ela começar a escorregar.
• Enunciado em poucas linhas:
– Uma escada homogênea de comprimento
– Uma pessoa de massa
– Atrito chão–escada:
– Queremos saber até que distância
Conteúdo: estática de corpos rígidos (equilíbrio de forças e torques) + atrito.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Equilíbrio de forças (vertical e horizontal) no pé da escada.
- Equilíbrio de torques (momento) tomando ponto de apoio no chão.
- Atrito máximo
.
Passo 2
Primeiro a gente monta o diagrama e acha o ângulo
que a escada faz com o chão.
Como a altura é 4 m e o comprimento é 5 m,
Como a altura é 4 m e o comprimento é 5 m,
As forças principais no pé da escada são:
– Normal vertical (do chão para cima).
– Atrito horizontal (impede a escada de deslizar para fora).
No topo, só há reação horizontal (o muro empurra a escada para fora).
– Normal vertical
– Atrito horizontal
No topo, só há reação horizontal
Passo 3
Equilíbrio de forças:
- Soma das forças verticais = 0 ⇒
- Soma das forças horizontais = 0 ⇒
Passo 4
Equilíbrio de torques (momento) tomando como pivô o pé da escada.
– Momento do peso da escada ( ) age no centro, a
do pé, alavanca horizontal
.
– Momento do peso da pessoa ( ) age a uma distância
ao longo da escada, alavanca horizontal
.
– Momento da reação do muro age no topo, alavanca vertical
.
– Momento do peso da escada (
– Momento do peso da pessoa (
– Momento da reação do muro
A condição de equilíbrio de torques (soma dos momentos “tendendo a girar no mesmo sentido”) é
Passo 5
A escada começa a escorregar exatamente quando
atinge o atrito máximo
.
Substituindo
e
na equação de torques:
[
\mu,(m_{esc}+m_p)g,L\sin\alpha
g\cos\alpha\Bigl(m_{esc}\tfrac{L}{2}+m_p,x\Bigr).
]
Cancelamos
e isolamos
:
[
x
\frac{\mu (m_{esc}+m_p),L\sin\alpha/\cos\alpha ;-; m_{esc}\tfrac{L}{2}}{m_p}
\frac{\mu (m_{esc}+m_p),L\tan\alpha ;-; m_{esc}\tfrac{L}{2}}{m_p}.
]
]
Passo 6
Agora é só pôr números:
[
x
\frac{0.4,(12+58),5,(4/3);-;12\cdot(5/2)}{58}
\approx
\frac{186.67-30}{58}
\approx2{,}70\ m.
]
\approx
\frac{186.67-30}{58}
\approx2{,}70\ m.
]
Resposta
A pessoa pode subir até aproximadamente
m ao longo da escada antes de ela começar a escorregar.