O movimento de uma partícula é definido pelas equações
e
em metros e
em segundos.
(a) Calcule a velocidade em
.
(b) Calcule o ângulo do vetor velocidade com 0 eixo
em
.
© Calcule a aceleração em
.
(a) Calcule a velocidade em
(b) Calcule o ângulo do vetor velocidade com 0 eixo
© Calcule a aceleração em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento com as equações de posição $ x(t) = 9t + 9t^2 $ e $ y(t) = 7t^2 $. A matéria aqui é Cinemática, que estuda como os objetos se movem. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar calcular a velocidade e a aceleração da partícula no tempo $ t = 5,45 $ segundos. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Calcular a velocidade em $ t = 5,45 $ s.
Primeiro, precisamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
A derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $ nos dá a componente $ v_x $ da velocidade:
Fazendo o mesmo para $ y(t) $:
Agora, substituímos $ t = 5,45 $ s nas expressões de $ v_x $ e $ v_y $:
Para encontrar a velocidade total $ v $, usamos a fórmula do módulo do vetor velocidade:
Passo 3
Parte (b): Calcular o ângulo do vetor velocidade com o eixo $ x $ em $ t = 5,45 $ s.
O ângulo $ \theta $ que o vetor velocidade forma com o eixo $ x $ pode ser encontrado usando a tangente:
Passo 4
Parte ©: Calcular a aceleração em $ t = 5,45 $ s.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Primeiro, derivamos $ v_x $ para encontrar $ a_x $:
E derivamos $ v_y $ para encontrar $ a_y $:
Essas aceler ações são constantes e não dependem do tempo, então em $ t = 5,45 $ s:
Resposta
(a) A velocidade da partícula em $ t = 5,45 $ s é aproximadamente $ 131,46 , m/s $.
(b) O ângulo do vetor velocidade com o eixo $ x $ em $ t = 5,45 $ s é aproximadamente $ 35,45^\circ $.
© A aceleração da partícula em $ t = 5,45 $ s é $ a_x = 18 , m/s^2 $ e $ a_y = 14 , m/s^2 $.