O movimento de uma partícula é definido pelas equações x=(9 t+9 t^2) e y=7 t^2 em metros e t em segundos.
(a) Calcule a velocidade em t=5,45 s.
(b) Calcule o ângulo do vetor velocidade com 0 eixo x em t=5,45 s.
© Calcule a aceleração em t=5,45 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento com as equações de posição $ x(t) = 9t + 9t^2 $ e $ y(t) = 7t^2 $. A matéria aqui é Cinemática, que estuda como os objetos se movem. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar calcular a velocidade e a aceleração da partícula no tempo $ t = 5,45 $ segundos. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Calcular a velocidade em $ t = 5,45 $ s.
Primeiro, precisamos encontrar as componentes da velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
A derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $ nos dá a componente $ v_x $ da velocidade:
t = 5,45
Fazendo o mesmo para $ y(t) $:
x(t)
Agora, substituímos $ t = 5,45 $ s nas expressões de $ v_x $ e $ v_y $:
t
vx
Para encontrar a velocidade total $ v $, usamos a fórmula do módulo do vetor velocidade:
vx = dxdt = ddt(9t + 9t^2) = 9 + 18t
y(t)

Passo 3

Parte (b): Calcular o ângulo do vetor velocidade com o eixo $ x $ em $ t = 5,45 $ s.
O ângulo $ \theta $ que o vetor velocidade forma com o eixo $ x $ pode ser encontrado usando a tangente:
x
t = 5,45
theta

Passo 4

Parte ©: Calcular a aceleração em $ t = 5,45 $ s.
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Primeiro, derivamos $ v_x $ para encontrar $ a_x $:
t = 5,45
E derivamos $ v_y $ para encontrar $ a_y $:
vx
Essas aceler ações são constantes e não dependem do tempo, então em $ t = 5,45 $ s:
ax
ax = dvxdt = ddt(9 + 18t) = 18 , m/s^2

Resposta

(a) A velocidade da partícula em $ t = 5,45 $ s é aproximadamente $ 131,46 , m/s $.
(b) O ângulo do vetor velocidade com o eixo $ x $ em $ t = 5,45 $ s é aproximadamente $ 35,45^\circ $.
© A aceleração da partícula em $ t = 5,45 $ s é $ a_x = 18 , m/s^2 $ e $ a_y = 14 , m/s^2 $.

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