Uma escada rolante liga um andar com outro que está 8,0 m acima. A escada tem 14 m de comprimento, e move-se a 0,70 m / s. (a) Calcule a potência do motor para transportar o máximo de 100 pessoas por minuto, sendo a massa média das pessoas igual a 70 kg . (b) Um homem de 780 N de peso sobe a escada em 12 segundos. Ache o trabalho que o motor realiza sobre o homem. (c) Se o homem voltasse no meio e descesse a escada de modo a permanecer no mesmo nível, o motor realizaria trabalho sobre ele?
Resposta: (a) 9,1 times 10^3 J. (b) 3,7 times 10^3 J. (c) Não.

Passo 1

O enunciado descreve uma escada rolante que eleva as pessoas em uma altura de 8,0 m ao longo de um comprimento de 14 m, movendo-se a 0,70 m/s. Precisamos calcular:
– (a) a potência do motor para levar até 100 pessoas por minuto (massa média 70 kg);
– (b) o trabalho que o motor realiza sobre um homem de peso 780 N que sobe a escada em 12 s;
– (c) se o homem voltar ao nível inicial descendo metade da escada, haverá trabalho do motor sobre ele.
Conteúdo usado: definição de potência média como energia por unidade de tempo e trabalho de força constante sobre deslocamento vertical.

Passo 2

Para (a), vamos achar a taxa de pessoas por segundo e a energia que o motor gasta para elevar cada pessoa.
A quantidade de pessoas por segundo é
n = 10060 s^-1approx1,667 s^-1
Cada pessoa, de massa m=70 kg, ganha energia potencial
De<a E = m g h = 70cdot9,8cdot8,0 J
A potência exigida é
P = n;De<a E

Passo 3

Substituindo os valores,
De<a E = 70cdot9,8cdot8,0 = 70cdot78,4 = 5488 J,
P = 1,667cdot5488approx9147 Wapprox9,1times10^3 W

Passo 4

Para (b), o motor só realiza trabalho correspondente à elevação que provém do movimento da escada. A velocidade vertical da escada é
vy = vcdot8,014 = 0,70cdot814 = 0,40 m/s
Em t=12 s, essa escada por si só eleva o homem
De<a y = vy,t = 0,40cdot12 = 4,8 m
O trabalho que o motor faz sobre o homem é então
W = F,De<a y,
onde F é o peso do homem, 780 N.

Passo 5

Calculando
W = 780cdot4,8 = 3744 Japprox3,7times10^3 J

Passo 6

(c) Se o homem retorna ao mesmo nível descendo metade da escada, o motor faz trabalho positivo durante a subida e trabalho negativo igual durante a descida, resultando em trabalho líquido nulo. Portanto, não há trabalho líquido do motor sobre ele quando volta ao nível inicial.

Resposta

(a) Papprox9,1times10^3 W
(b) Wapprox3,7times10^3 J
(c) Não há trabalho líquido do motor sobre ele.

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