Uma escada rolante liga um piso com outro posicionado 8,20 m acima. A escada rolante tem um comprimento de 13,3 m e move-se ao longo de seu comprimento com 62,0 cm/s. (a) Qual é a potência que o seu motor deve fornecer para que ela carregue um máximo de 100 pessoas por minuto, com massa média de 75,0 kg? (b) Um homem de 83,5 kg sobe pela escada rolante em 9,50 s. Qual é o trabalho que o motor realiza sobre ele? © Se este homem voltasse no meio do percurso e descesse a escada rolante de modo a ficar no mesmo lugar no espaço, o motor realizaria trabalho sobre ele? Caso afirmativo, qual seria a potência liberada para este propósito? (d) Existe alguma (outra?) forma de o homem andar na escada rolante sem consumir potência do motor?

Passo 1

Beleza, joga aqui o resumo: a escada rolante liga dois pisos com diferença de altura Δh = 8{,}20 m, comprimento L = 13{,}3 m e anda ao longo de L com velocidade v = 62,0 cm/s. Precisamos responder potência e trabalho envolvendo energia potencial (mgh) e potência P = dW/dt = F·v. Então a teoria que vamos usar é:
  1. Energia potencial: .
  2. Potência para elevar massa a uma certa velocidade vertical: .
  3. Conversão de unidades (cm/s → m/s) e decomposição de v na componente vertical: .

Passo 2

(a) Potência para carregar 100 pessoas por minuto (massa média 75,0 kg cada):
  1. converte v:
v = 62,0 cm/s = 0,620 m/s
  1. componente vertical
vy = v,ΔhL = 0,620,8,2013,3approx 0,382 m/s
  1. fluxo de massa por segundo
dot m = 100 pessoa60 stimes75,0 kg/pessoa =125 kg/s
  1. potência
P = dot m,g,vy =125cdot9,8cdot0,382 approx4,68times10^2 W

Passo 3

(b) Trabalho que o motor faz num homem de 83,5 kg subindo em 9,50 s:
Ele sobe a altura Δh = 8,20 m, então
W = m,g,Δh =83,5cdot9,8cdot8,20 approx6,71times10^3 J

Passo 4

© Se o cara desce a escada rolante de tal forma que, no espaço, ele fique parado (velocidade vertical líquida zero), então ele anda PARA BAIXO relativamente ao degrau à mesma rapidez da escada PARA CIMA. Isso faz com que não haja variação de energia potencial.
Mas o motor ainda está “empurrando” o peso dele para cima a Prm liberada = m,g,vy =83,5cdot9,8cdot0,382 approx3,12times10^2 W , e como não há ganho de energia potencial, esse trabalho volta pro motor (é potência liberada).

Passo 5

(d) Jeito de andar sem consumir potência do motor?
Justamente se ele mantiver velocidade relativa à escada que zere sua velocidade no espaço (mesma ideia de ©). Nesse caso não há troca de energia entre motor e corpo dele.

Resposta

(a)
(b)
© Sim. Potência liberada
(d) Andar para baixo sobre os degraus com velocidade igual à da escada (v ≃ 0,62 m/s ao longo do comprimento), de modo que a velocidade no espaço seja zero.

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