Uma escada uniforme, de comprimento
e massa
, apoiada sobre o chão e encostada a uma parede, com coeficientes de atritos estáticos
no contato com o chão e
no contato com a parede, forma um ângulo
com o chão (ângulo interno no triângulo formado por escada-chão-parede). Qual o menor ângulo tal que a escada não escorregue?
Passo 1
O problema: uma escada reta e uniforme (comprimento
, massa
) encostada no chão e na parede, com coeficientes de atrito estático
(chão) e
(parede), faz ângulo
com o chão. Queremos o menor ângulo
para ela não escorregar.
Conteúdo: estática de corpo rígido, equilíbrio de forças e torques, atrito.
O que vamos usar:
Conteúdo: estática de corpo rígido, equilíbrio de forças e torques, atrito.
O que vamos usar:
- Diagrama de corpo‐livre com reações normais (
, ), forças de atrito ( , ) e peso ( ). - Equilíbrio de forças em
e . - Equilíbrio de momentos em um ponto (ponto de apoio no chão).
- Condição limite de atrito:
, .
Passo 2
Diagrama de forças (no equilíbrio limite de escorregamento):
- No chão (ponto A):
– Normal vertical para cima:.
– Atrito horizontal (para impedir base sair):. - Na parede (ponto B):
– Normal horizontal:.
– Atrito vertical (para impedir topo descer):. - Peso concentrado no centro da escada:
para baixo.
Passo 3
Equilíbrio de forças:
- Em
(horizontal):
. - Em
(vertical):
.
Passo 4
Momento em torno da base (ponto A), tomando sentido anti‐horário positivo:
ou dividindo por :
.
ou dividindo por
Passo 5
Na iminência de escorregar cada atrito está no máximo:
.
Já sabemos e
, então
,
.
Já sabemos
Passo 6
Substituindo
e
na equação de momento:
.
Divide por e reorganiza:
.
Divide por
Resposta
$\displaystyle \theta_{\min} = \arctan!\Bigl(\frac{1 - \mu_{1}\mu_{2}}{2,\mu_{1}}\Bigr),. $