Uma escada uniforme, de comprimento l e massa M, apoiada sobre o chão e encostada a uma parede, com coeficientes de atritos estáticos mu1 no contato com o chão e mu2 no contato com a parede, forma um ângulo theta com o chão (ângulo interno no triângulo formado por escada-chão-parede). Qual o menor ângulo tal que a escada não escorregue?

Passo 1

O problema: uma escada reta e uniforme (comprimento l, massa M) encostada no chão e na parede, com coeficientes de atrito estático mu1 (chão) e mu2 (parede), faz ângulo theta com o chão. Queremos o menor ângulo theta para ela não escorregar.
Conteúdo: estática de corpo rígido, equilíbrio de forças e torques, atrito.
O que vamos usar:
  • Diagrama de corpo‐livre com reações normais ( N1, N2), forças de atrito ( F1, F2) e peso ( Mg).
  • Equilíbrio de forças em x e y.
  • Equilíbrio de momentos em um ponto (ponto de apoio no chão).
  • Condição limite de atrito: F1=mu1N1, F2=mu2N2.

Passo 2

Diagrama de forças (no equilíbrio limite de escorregamento):
  • No chão (ponto A):
    – Normal vertical para cima: N1.
    – Atrito horizontal (para impedir base sair): F1.
  • Na parede (ponto B):
    – Normal horizontal: N2.
    – Atrito vertical (para impedir topo descer): F2.
  • Peso concentrado no centro da escada: Mg para baixo.

Passo 3

Equilíbrio de forças:
  1. Em x (horizontal):
    F1 - N2 = 0Longrightarrow F1 = N2.
  2. Em y (vertical):
    N1 + F2 - Mg = 0Longrightarrow N1 = Mg - F2.

Passo 4

Momento em torno da base (ponto A), tomando sentido anti‐horário positivo:
N2,(lsintheta),+,F2,(lcostheta),-,Mg!l(tfrac l2costhetar)=0
ou dividindo por l:
N2sintheta + F2costheta = tfracMg2costheta.

Passo 5

Na iminência de escorregar cada atrito está no máximo:
F1 = mu1N1, F2 = mu2N2.
Já sabemos F1=N2 e N1=Mg-F2, então
N2 = mu1,(Mg - mu2N2);Rightarrow;N2(1+mu1mu2)=mu1Mg;Rightarrow;N2=mu1Mg1+mu1mu2,
F2=mu2N2=mu1mu2Mg1+mu1mu2.

Passo 6

Substituindo N2 e F2 na equação de momento:
mu1Mg1+mu1mu2sintheta + mu1mu2Mg1+mu1mu2costheta = Mg2costheta.
Divide por Mg/(1+mu1mu2) e reorganiza:
2mu1sintheta + 2mu1mu2costheta = (1+mu1mu2)costheta
Longrightarrow;2mu1sintheta = (1-mu1mu2)costheta
Longrightarrowtantheta = 1-mu1mu22mu1.

Resposta

$\displaystyle \theta_{\min} = \arctan!\Bigl(\frac{1 - \mu_{1}\mu_{2}}{2,\mu_{1}}\Bigr),. $

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