Um corpo rígido roda com velocidade angular dada por omega=pi+pi t^2. Calcule a aceleração angular e a posição angular e no instante t=2 s, sabendo que a posição angular era -2 pi / 3 no instante t=0 s.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um corpo rígido que está girando com uma velocidade angular que varia com o tempo, dada por omega = pi + pi t^2. Precisamos calcular dois valores no instante t = 2,s: a aceleração angular ( alpha) e a posição angular ( theta). Além disso, sabemos que a posição angular no tempo t = 0,s era -2pi/3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral aplicados à cinemática rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração angular ( alpha). A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função omega(t) em relação a t.
alpha(t) = domegadt

Passo 3

Calculando a derivada de omega(t) = pi + pi t^2:
alpha(t) = ddt (pi + pi t^2) = 0 + 2pi t = 2pi t

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração angular no instante t = 2,s:
alpha(2) = 2pi (2) = 4pi

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a posição angular ( theta). A posição angular é a integral da velocidade angular em relação ao tempo. Vamos integrar omega(t) para encontrar theta(t):
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral (pi + pi t^2) , dt = pi t + pi t^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial fornecida: theta(0) = -2pi3. Substituindo t = 0 na equação de theta(t):
- 2pi3 = pi (0) + pi (0)^33 + C Rightarrow C = - 2pi3

Passo 7

Agora, temos a expressão completa para a posição angular:
theta(t) = pi t + pi t^33 - 2pi3

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a posição angular no instante t = 2,s:
theta(2) = pi (2) + pi (2)^33 - 2pi3 = 2pi + 8pi3 - 2pi3 = 2pi + 6pi3 = 2pi + 2pi = 4pi

Resposta

No instante t = 2,s, a aceleração angular é alpha = 4pi , rad/s^2 e a posição angular é theta = 4pi , rad.

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