Um corpo rígido roda com velocidade angular dada por
. Calcule a aceleração angular e a posição angular e no instante
, sabendo que a posição angular era
no instante
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um corpo rígido que está girando com uma velocidade angular que varia com o tempo, dada por
. Precisamos calcular dois valores no instante
: a aceleração angular (
) e a posição angular (
). Além disso, sabemos que a posição angular no tempo
era
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral aplicados à cinemática rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a aceleração angular (
). A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função
em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração angular no instante
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a posição angular (
). A posição angular é a integral da velocidade angular em relação ao tempo. Vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial fornecida:
. Substituindo
na equação de
:
Passo 7
Agora, temos a expressão completa para a posição angular:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a posição angular no instante
:
Resposta
No instante
, a aceleração angular é
e a posição angular é
.