2.5- Medindo a temperatura de um líquido com dois termômetros, um de escala Celsius e outro de escala Fahrenheit, um estudante
verificou que ambos davam a mesma indicação em módulo, porém de sinais opostos.
Calcule a temperatura do líquido.

Passo 1

O enunciado diz que um estudante mediu a mesma temperatura com dois termômetros: um em escala Celsius e outro em escala Fahrenheit. Ele observou que as indicações tinham o mesmo módulo (mesma magnitude) e sinais opostos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há uma única temperatura do líquido (mesma temperatura física) medida em duas escalas.
  • As leituras satisfazem que a indicação em Fahrenheit tem sinal oposto à indicação em Celsius e mesma magnitude (ou seja, uma é o negativo da outra).
O enunciado pede: calcular a temperatura do líquido.

Passo 2

Definir variáveis e lembrar a relação entre as escalas. Seja:
  • \\ T_C a temperatura medida em graus Celsius (ºC);
  • \\ T_F a temperatura medida em graus Fahrenheit (ºF).
A relação linear entre as escalas é dada por (vou explicar por que):
T_F=\dfrac{9}{5}T_C+32.
Explicação curta de onde vem essa fórmula (muito útil na prova): as escalas são lineares e conhecemos dois pares correspondentes:
  • 0^\circ\text{C} corresponde a 32^\circ\text{F},
  • 100^\circ\text{C} corresponde a 212^\circ\text{F}.
A inclinação (coeficiente angular) é
\frac{212-32}{100-0}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5},
e usando o ponto (0,32) obtemos T_F=\dfrac{9}{5}T_C+32. Isso significa: multiplica-se a temperatura em Celsius por \tfrac{9}{5} e soma-se 32 para obter Fahrenheit.

Passo 3

Traduzir a condição “mesmo módulo, sinais opostos” em equação. Isso significa que uma leitura é o negativo da outra:
T_F = -\,T_C.
Agora temos o sistema de equações que relaciona as duas leituras:
\begin{cases} T_F=\dfrac{9}{5}T_C+32,\\[4pt] T_F=-\,T_C. \end{cases}
Vamos eliminar T_F substituindo a segunda equação na primeira.]

Passo 4

Substituindo T_F=-T_C em \dfrac{9}{5}T_C+32=T_F obtemos:
\dfrac{9}{5}T_C+32=-\,T_C.
Agora resolvemos essa equação para T_C. Somando T_C aos dois lados:
\dfrac{9}{5}T_C+T_C=-32.
Escrever T_C com denominador comum:
\left(\dfrac{9}{5}+\dfrac{5}{5}\right)T_C=-32.
Calcular a soma dos coeficientes:
\dfrac{14}{5}T_C=-32.
Isolando T_C:
T_C=-32\cdot\dfrac{5}{14}=-\dfrac{160}{14}=-\dfrac{80}{7}.
Em forma decimal aproximada (útil na prova): \;T_C\approx -11{,}428571\ldots^\circ\text{C}, que arredondando fica -11{,}43^\circ\text{C}.

Passo 5

Determinar a leitura em Fahrenheit (verificação e resposta alternativa). Pela condição T_F=-T_C,
T_F=-\left(-\dfrac{80}{7}\right)=\dfrac{80}{7}\approx 11{,}428571\ldots^\circ\text{F},
ou seja T_F\approx 11{,}43^\circ\text{F}.
Verificação rápida usando a fórmula de conversão:
T_F=\dfrac{9}{5}T_C+32=\dfrac{9}{5}\left(-\dfrac{80}{7}\right)+32=-\dfrac{144}{7}+32=\dfrac{80}{7},
coerente com T_F=-T_C.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: a única temperatura que satisfaz que as leituras em Celsius e Fahrenheit têm mesmo módulo e sinais opostos é \;T_C=-\dfrac{80}{7}^\circ\text{C} (aprox. -11{,}43^\circ\text{C}), correspondente a \;T_F=\dfrac{80}{7}^\circ\text{F} (aprox. 11{,}43^\circ\text{F}). Em provas, defina sempre as variáveis, escreva a relação de conversão e traduza a condição verbal para uma equação simples — isso quase sempre resolve problemas desse tipo.

Resposta

\;T_C=-\dfrac{80}{7}^\circ\text{C}\approx -11{,}43^\circ\text{C}
\;T_F=\dfrac{80}{7}^\circ\text{F}\approx 11{,}43^\circ\text{F}

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