Uma escala linear estabelece os valores 2^{\circ} \mathrm{M} para o primeiro ponto fixo, e 8^{\circ} \mathrm{M} para o segundo. Quanto vale 50^{\circ} \mathrm{F} nessa escala?

Passo 1

O enunciado dá uma escala linear entre a escala Fahrenheit (que vamos chamar de F) e uma nova escala M. As informações fornecidas são:
  • O primeiro ponto fixo da escala Fahrenheit (ponto de congelação da água) é \,32^\circ F e nessa nova escala vale \,2^\circ\mathrm{M}. Ou seja, peguei da escala Fahrenheit o valor \,32^\circ F correspondente a \,2^\circ\mathrm{M}.
  • O segundo ponto fixo da escala Fahrenheit (ponto de ebulição da água) é \,212^\circ F e nessa nova escala vale \,8^\circ\mathrm{M}. Ou seja, peguei da escala Fahrenheit o valor \,212^\circ F correspondente a \,8^\circ\mathrm{M}.
    A pergunta é: quanto vale \,50^\circ F nessa escala M?

Passo 2

Como a relação é linear, existe uma função afim que converte F em M. Escrevemos essa relação geral como
M = aF + b,
onde a é a inclinação (quanto M muda por unidade de F) e b é a ordenada na origem (valor de M quando F=0). Vamos determinar a e b usando os dois pontos conhecidos.

Passo 3

Usando os dois pontos conhecidos obtemos duas equações. Para \,F=32 e \,M=2:
2 = a\cdot 32 + b.
Para \,F=212 e \,M=8:
8 = a\cdot 212 + b.

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar b e achar a:
8-2 = a(212-32).
Isso dá
6 = a\cdot 180,
portanto
a = \frac{6}{180} = \frac{1}{30}.

Passo 5

Agora que a=\dfrac{1}{30}, voltamos a uma das equações para achar b. Usando 2 = a\cdot 32 + b:
b = 2 - \frac{1}{30}\cdot 32.
Calculando as frações:
\frac{1}{30}\cdot 32 = \frac{32}{30} = \frac{16}{15},
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b = 2 - \frac{16}{15} = \frac{30}{15} - \frac{16}{15} = \frac{14}{15}.

Passo 6

Então a fórmula de conversão é
M = \frac{1}{30}F + \frac{14}{15}.
Agora calculamos M para F=50:
M = \frac{1}{30}\cdot 50 + \frac{14}{15} = \frac{50}{30} + \frac{14}{15}.
Simplificando \dfrac{50}{30}=\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{15}, somamos:
M = \frac{25}{15} + \frac{14}{15} = \frac{39}{15} = \frac{13}{5}.
Convertendo para decimal (usando vírgula no estilo português):
\frac{13}{5} = 2{,}6.

Passo 7

Verificação rápida (checada por segurança): para F=32 a fórmula dá M=\dfrac{32}{30}+\dfrac{14}{15}=2 e para F=212 M=\dfrac{212}{30}+\dfrac{14}{15}=8, ou seja, bate com os pontos fixos dados.

Resposta

2{,}6^{\circ}\mathrm{M}

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