QUESTÃO 02 (2,50 PONTOS) - Se um múon viaja a 0,999 c, quais são seu momento linear e energia cinética? (A massa desse múon em repouso no laboratório é 207 vezes a massa do elétron.)?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o momento linear e a energia cinética de um múon que viaja à velocidade 0,999\,c. As informações fornecidas são:
  • Velocidade do múon: v=0,999\,c.
  • Massa de repouso do múon: m_{0}=207\,m_{e}, onde m_{e} é a massa do elétron.
    Não há imagem. Vou usar constantes conhecidas (valores numéricos) para calcular resultados numéricos:
  • velocidade da luz: c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
  • massa do elétron: m_{e}=9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
  • convenção de energia: 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Em relatividade restrita aparece o fator de Lorentz \gamma, que mede quanto as quantidades relativísticas se afastam das clássicas. A definição é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\qquad\text{onde }\beta=\frac{v}{c}.
Aqui \beta é a velocidade em unidades de c (por exemplo \beta=0,999), e \gamma cresce muito quando \beta se aproxima de 1.
  • Momento linear relativístico: o análogo relativístico de p=mv é
p=\gamma m_{0} v.
Uma forma prática é usar \beta e c:
p=\gamma m_{0}\beta c.
  • Energia cinética relativística: a energia total relativística é E=\gamma m_{0} c^{2}. A energia de repouso é E_{0}=m_{0}c^{2}. A energia cinética é a diferença:
K = E-E_{0}=(\gamma-1)m_{0}c^{2}.
Essas fórmulas substituem as fórmulas clássicas quando v se aproxima de c.

Passo 3

Calcular \beta e \gamma usando v=0,999\,c.
\beta=0,999.
\beta^{2}=0,999^{2}=0,998001.
1-\beta^{2}=1-0,998001=0,001999.
\gamma=\frac{1}{\sqrt{0,001999}}\approx\frac{1}{0,044710\ldots}\approx22,366272\ldots
Vou manter algumas casas para clareza: \gamma\approx22,366.

Passo 4

Calcular a massa de repouso do múon em SI: \,m_{0}=207\,m_{e}.
m_{0}=207\times\left(9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\right) =1,88564239692\times10^{-28}\\ \mathrm{kg}.
Arredondando de forma prática para os cálculos: m_{0}\approx1,88564\times10^{-28}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular o momento linear p=\gamma m_{0} v=\gamma m_{0}\beta c.
Primeiro calcule m_{0}c:
m_{0}c=(1,88564239692\times10^{-28}\\ \mathrm{kg})\times(3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}) =5,65692719076\times10^{-20}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Agora calculamos \gamma\beta:
\gamma\beta\approx22,366272\times0,999\approx22,343906.
Finalmente
p=\gamma\beta\,(m_{0}c)\approx22,343906\times(5,65692719076\times10^{-20}) \approx1,264\times10^{-18}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos: p\approx1,26\times10^{-18}\\ \mathrm{kg\,m/s}.

Passo 6

Calcular a energia cinética K=(\gamma-1)m_{0}c^{2}.
Primeiro calcule m_{0}c^{2}:
m_{0}c^{2}=(1,88564239692\times10^{-28}\\ \mathrm{kg})\times(3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})^{2} =1,69707815723\times10^{-11}\\ \mathrm{J}.
Agora use \gamma-1:
\gamma-1\approx22,366272-1=21,366272.
K=(\gamma-1)m_{0}c^{2}\approx21,366272\times1,69707815723\times10^{-11}\\ \mathrm{J} \approx3,63\times10^{-10}\\ \mathrm{J}.
Converter para elétron-volts (útil em física de partículas):
K\\ (\mathrm{eV})=\frac{3,626\times10^{-10}\\ \mathrm{J}}{1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx2,26\times10^{9}\\ \mathrm{eV}=2,26\\ \mathrm{GeV}.
(Observe que a pequena diferença em algarismos vem de arredondamentos intermediários; resultados são consistentes com K\approx2{,}26\\ \mathrm{GeV}.)

Passo 7

Resumo numérico com unidades e arredondamento razoável:
  • Momento linear: p\approx1,26\times10^{-18}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
  • Energia cinética: K\approx3,63\times10^{-10}\\ \mathrm{J}\approx2,26\times10^{9}\\ \mathrm{eV}=2,26\\ \mathrm{GeV}.
Vai dar tudo certo na prova — você já aprendeu as fórmulas e como aplicá-las passo a passo. Se quiser, eu mostro a mesma conta mas usando diretamente as massas em MeV/c^{2} (fica até mais curto para partículas).

Resposta

p\approx1,26\times10^{-18}\\ \mathrm{kg\,m/s}
K\approx3,63\times10^{-10}\\ \mathrm{J}\approx2,26\times10^{9}\\ \mathrm{eV}=2,26\\ \mathrm{GeV}

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