Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}2 x-y+\frac{z}{2}=6 \\\\ 4 x+y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o sistema
\begin{cases} 2x - y + \tfrac{z}{2} = 6\\[4pt] 4x + y + z = 0 \end{cases}
As tarefas são:
  1. escalonar o sistema;
  2. classificar (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível);
  3. resolver (encontrar todas as soluções).
    Informações dadas: as duas equações acima e as três incógnitas x,y,z.]

Passo 2

Vou representar o sistema na forma de matriz aumentada para aplicar eliminação de Gauss (escalonamento). A matriz aumentada corresponde aos coeficientes das incógnitas e ao termo independente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & \tfrac{1}{2} & 6\\[4pt] 4 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Explicando: cada linha representa uma equação; as colunas são, respectivamente, os coeficientes de x, y, z e a última coluna é o lado direito (termos constantes).]

Passo 3

Regra básica da eliminação: podemos trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, ou somar à uma linha um múltiplo de outra. O objetivo do escalonamento (forma escalonada) é obter zeros abaixo dos pivôs (valores líderes) para facilitar a resolução por substituição.
Aqui podemos eliminar o coeficiente de x na segunda linha usando a operação
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1.
Faço a conta entrada a entrada:
  • Na coluna de x: 4 - 2\cdot 2 = 0.
  • Na coluna de y: 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3.
  • Na coluna de z: 1 - 2\cdot\tfrac{1}{2} = 1 - 1 = 0.
  • No termo independente: 0 - 2\cdot 6 = -12.
A matriz aumentada após a operação fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & \tfrac{1}{2} & 6\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -12 \end{array}\right]
Esta é uma forma escalonada (há um zero embaixo do primeiro pivô na coluna de x).]

Passo 4

Voltando à forma de equações correspondentes à matriz escalonada:
\begin{cases} 2x - y + \tfrac{z}{2} = 6,\\[4pt] 0x + 3y + 0z = -12. \end{cases}
Da segunda equação temos uma equação simples em y:
3y = -12.
Para resolver uma equação linear do tipo ay=b (com a\neq 0), dividimos por a. Assim
y = \frac{-12}{3} = -4.]

Passo 5

Com y=-4 substituímos numa das equações originais para relacionar x e z. Uso a segunda equação original (mais simples):
4x + y + z = 0.
Substituindo y=-4:
4x -4 + z = 0.
Isolando z:
z = 4 - 4x.
Isso mostra que x pode ser livre (parâmetro) e z depende de x.

Passo 6

Interpretação dos resultados e classificação do sistema: temos três incógnitas x,y,z e, após escalonar, obtivemos duas equações independentes (as duas linhas não nulas na matriz escalonada). O posto (rank) da matriz de coeficientes é 2. O posto da matriz aumentada também é 2 (não apareceu nenhuma contradição como 0= \text{constante não nula}ã). Como o posto é igual ao número de linhas independentes e é menor que o número de incógnitas ( 2<3), conclui-se que o sistema é compatível indeterminado: existem infinitas soluções, com uma família de soluções parametrizada por uma variável livre.

Passo 7

Parametrização final das soluções: tomo t\in\mathbb{R} como parâmetro para x, i.e. x=t. Então
y = -4,\qquad z = 4 - 4x = 4 - 4t.
Portanto o conjunto solução é
\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid (x,y,z) = (t,\,-4,\,4-4t),\\ t\in\mathbb{R}\}.
Opcionalmente podemos escrever em forma vetorial:
(x,y,z) = (0,-4,4) + t(1,0,-4),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Matriz escalonada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & \tfrac{1}{2} & 6\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -12 \end{array}\right]
Classificação: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
Solução geral: (x,y,z)=(t,\,-4,\,4-4t) para t\in\mathbb{R}.]

Exercícios relacionados