Explicação breve sobre operação elementares que podemos usar (importante para a prova): podemos trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo do escalonamento é obter uma forma triangular superior (ou forma escalonada) para facilitar a resolução por substituição para cima (back substitution).]
Passo 3
Escolhemos como primeira linha com pivô a linha que já tem um coeficiente simples para x. Vou trocar a linha 1 com a linha 2 para ter um pivot 1 na primeira posição (isso simplifica contas). Troca R_1 \leftrightarrow R_2:
Agora eliminamos o coeficiente da coluna y na linha 3 usando a linha 2. Como as duas têm -7 na posição de y, fazemos R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Calculemos:
Explicação do que significa esta forma: temos três pivôs (elementos não nulos em posições escalonadas): na coluna 1 (linha 1), coluna 2 (linha 2) e coluna 3 (linha 3). Isso indica que podemos resolver as três incógnitas de forma determinada (uma única solução). Quando a matriz escalonada tem um pivô em cada variável (nenhuma linha do tipo [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq0 e nenhuma variável livre), o sistema é compatível determinado.
Passo 7
Agora fazemos a resolução por substituição (back substitution). A última linha corresponde à equação
4z = 4.
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos
z = 1.
Passo 8
Substituímos z=1 na segunda linha escalonada, que corresponde a
Classificação final do sistema: como tivemos pivôs em todas as três variáveis (não houve linha contraditória e não houve variáveis livres), o sistema é compatível determinado (uma única solução).