Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+z=9 \\\ x+2 y-2 z=-5 \\\\ 3 x-y+3 z=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: escalonar, classificar e resolver o sistema
\begin{cases} 2x-3y+z=9\\[4pt] x+2y-2z=-5\\[4pt] 3x-y+3z=8 \end{cases}
Informações dadas: as três equações acima (coeficientes e termos independentes). Não há mais informação oculta — só isso.]

Passo 2

Primeiro passo prático: escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e coluna dos termos independentes). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 1 & 9\\[4pt] 1 & 2 & -2 & -5\\[4pt] 3 & -1 & 3 & 8 \end{array}\right].
Explicação breve sobre operação elementares que podemos usar (importante para a prova): podemos trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo do escalonamento é obter uma forma triangular superior (ou forma escalonada) para facilitar a resolução por substituição para cima (back substitution).]

Passo 3

Escolhemos como primeira linha com pivô a linha que já tem um coeficiente simples para x. Vou trocar a linha 1 com a linha 2 para ter um pivot 1 na primeira posição (isso simplifica contas). Troca R_1 \leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & -5\\[4pt] 2 & -3 & 1 & 9\\[4pt] 3 & -1 & 3 & 8 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora eliminamos o x nas linhas 2 e 3 usando a primeira linha:
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos R_2 - 2R_1:
\begin{array}{rcl} 2 - 2\cdot 1 &=& 0,\\[2pt] -3 - 2\cdot 2 &=& -3 - 4 = -7,\\[2pt] 1 - 2\cdot(-2) &=& 1 + 4 = 5,\\[2pt] 9 - 2\cdot(-5) &=& 9 + 10 = 19. \end{array}
Portanto R_2 vira [0\; -7\; 5\;|\;19].
Calculemos R_3 - 3R_1:
\begin{array}{rcl} 3 - 3\cdot 1 &=& 0,\\[2pt] -1 - 3\cdot 2 &=& -1 - 6 = -7,\\[2pt] 3 - 3\cdot(-2) &=& 3 + 6 = 9,\\[2pt] 8 - 3\cdot(-5) &=& 8 + 15 = 23. \end{array}
Portanto R_3 vira [0\; -7\; 9\;|\;23].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -7 & 5 & 19\\[4pt] 0 & -7 & 9 & 23 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora eliminamos o coeficiente da coluna y na linha 3 usando a linha 2. Como as duas têm -7 na posição de y, fazemos R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Calculemos:
\begin{array}{rcl} 0-0 &=& 0,\\[2pt] -7 - (-7) &=& 0,\\[2pt] 9 - 5 &=& 4,\\[2pt] 23 - 19 &=& 4. \end{array}
Logo R_3 vira [0\;0\;4\;|\;4].
A matriz escalonada (forma triangular superior) que obtivemos é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -7 & 5 & 19\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right].]

Passo 6

Explicação do que significa esta forma: temos três pivôs (elementos não nulos em posições escalonadas): na coluna 1 (linha 1), coluna 2 (linha 2) e coluna 3 (linha 3). Isso indica que podemos resolver as três incógnitas de forma determinada (uma única solução). Quando a matriz escalonada tem um pivô em cada variável (nenhuma linha do tipo [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq0 e nenhuma variável livre), o sistema é compatível determinado.

Passo 7

Agora fazemos a resolução por substituição (back substitution). A última linha corresponde à equação
4z = 4.
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos
z = 1.

Passo 8

Substituímos z=1 na segunda linha escalonada, que corresponde a
-7y + 5z = 19.
Substituindo z=1:
-7y + 5\cdot 1 = 19 \quad\Rightarrow\quad -7y + 5 = 19.
Isolando y:
-7y = 19 - 5 = 14 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{14}{-7} = -2.

Passo 9

Agora substituímos y=-2 e z=1 na primeira equação escalonada (que era a original trocada, mas é equivalente):
x + 2y - 2z = -5.
Substituindo:
x + 2(-2) - 2(1) = -5 \quad\Rightarrow\quad x -4 -2 = -5.
Então
x -6 = -5 \quad\Rightarrow\quad x = -5 + 6 = 1.

Passo 10

Verificação rápida (substituir (x,y,z)=(1,-2,1) nas três equações originais):
  • 2x-3y+z = 2\cdot1 -3\cdot(-2) + 1 = 2 +6 +1 =9 (confere).
  • x+2y-2z = 1 +2\cdot(-2) -2\cdot1 = 1 -4 -2 = -5 (confere).
  • 3x-y+3z = 3\cdot1 -(-2) +3\cdot1 = 3 +2 +3 =8 (confere).
Conclusão: solução correta e verificada.

Passo 11

Classificação final do sistema: como tivemos pivôs em todas as três variáveis (não houve linha contraditória e não houve variáveis livres), o sistema é compatível determinado (uma única solução).

Resposta

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -7 & 5 & 19\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right]
Sistema compatível determinado\n
(x,y,z)=(1,-2,1)]

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