Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
a) \left\{\begin{array}{c}2 x-y+3 z=0 \\\\ 2 y-z=1 \\\\ 2 z=-6\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o sistema abaixo: escalonar, classificar e resolver.
O sistema dado é
\begin{cases} 2x - y + 3z = 0,\\[4pt] 2y - z = 1,\\[4pt] 2z = -6. \end{cases}
Informações relevantes que temos: as três equações e as três incógnitas x,y,z. Não há nenhuma equação faltando ou figura — tudo está explícito.]
Passo 2
Antes de escalar, vou explicar rapidamente o que significa “escalonar” e quais operações podemos fazer. Escalonar um sistema significa transformá-lo (com operações válidas) até obter uma matriz aumentada em forma escalonada (uma forma triangular superior, onde cada linha não-nula tem um primeiro coeficiente não-nulo mais à direita que a linha anterior). As operações elementares permitidas (que não alteram o conjunto de soluções) são:
\begin{aligned} &\text{(E1)}\\ \text{trocar duas linhas},\\[3pt] &\text{(E2)}\\ \text{multiplicar uma linha por um escalar não nulo},\\[3pt] &\text{(E3)}\\ \text{somar a uma linha um múltiplo de outra linha}. \end{aligned}ãú
Essas operações preservam exatamente o conjunto de soluções do sistema. Vou agora escrever o sistema na forma de matriz aumentada e ver se já está escalonado.]
Passo 3
Matriz aumentada do sistema (coeficientes e coluna de termos independentes):
Notei que peguei os coeficientes diretamente das equações: da primeira linha vêm 2,-1,3 e 0; da segunda linha, como não aparece x, o coeficiente de x é 0 e os demais são 2,-1 com termo independente 1; da terceira linha só aparece z com coeficiente 2 e termo independente -6.]
Passo 4
Observação sobre a matriz acima: ela já está em forma escalonada (já é triangular superior). Explico como identificar isso: na primeira linha o primeiro elemento não-nulo (pivot) está na coluna 1; na segunda linha o primeiro elemento não-nulo está na coluna 2 (mais à direita que o da primeira linha); na terceira linha o primeiro elemento não-nulo está na coluna 3. Isso é exatamente a definição de forma escalonada. Então tecnicamente não precisamos aplicar operações (já está escalonada). Para facilitar a leitura e a resolução por substituição, vou normalizar cada linha dividindo pelo seu pivot, isto é, aplicar (E2) para transformar cada pivot em 1.
Divido a linha 1 por 2, a linha 2 por 2 e a linha 3 por 2. Aplicando essas operações obtemos:
Agora cada linha tem pivot 1 nas colunas 1,2,3 respectivamente. Esta é uma forma escalonada com pivôs normalizados.]
Passo 5
Vou resolver o sistema por substituição a partir da forma escalonada normalizada. Cada linha corresponde às equações (após divisão pelos pivôs):
\begin{aligned} &\text{(L3)}\quad 1\cdot z = -3,\\[4pt] &\text{(L2)}\quad 1\cdot y - \tfrac{1}{2}z = \tfrac{1}{2},\\[4pt] &\text{(L1)}\quad 1\cdot x - \tfrac{1}{2}y + \tfrac{3}{2}z = 0. \end{aligned}
Passo a passo:
De (L3) obtemos imediatamente
z = -3.
Substituo z em (L2):
y - \tfrac{1}{2}(-3) = \tfrac{1}{2}.
Calcule o termo -\tfrac{1}{2}(-3)=+\tfrac{3}{2}. Então
y + \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = -1.
Substituo y e z em (L1):
x - \tfrac{1}{2}(-1) + \tfrac{3}{2}(-3) = 0.
Calcule os termos: -\tfrac{1}{2}(-1)=+\tfrac{1}{2} e \tfrac{3}{2}(-3) = -\tfrac{9}{2}. Então
x + \tfrac{1}{2} - \tfrac{9}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x -4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4.]
Passo 6
Classificação do sistema: como a matriz escalonada tem pivôs em todas as três colunas de incógnitas (as colunas 1,2,3), o posto da matriz dos coeficientes é 3. O posto da matriz aumentada também é 3 (não houve contradição na coluna dos termos independentes). Como o posto é igual ao número de incógnitas (3), o sistema é compatível determinado — ou seja, tem exatamente uma solução.
Passo 7
Resumo final das soluções encontradas por substituição: