Qual o valor de p para que o sistema \left\{\begin{array}{l}p x+y-z=4 \\\ x+p y+z=0 \\\ x-y=2\end{array}\right. admita uma solução única?
(Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 3 x-y+2 z=3 \text { é compatível e } \\\ y+k z=-2\end{array}\right.éí determinado?
Passo 1
Questões e dados do enunciado (vou separar as duas questões para ficar claro):
Questão 9 — o que é pedido:
\begin{cases} p x + y - z = 4\\[4pt] x + p y + z = 0\\[4pt] x - y = 2 \end{cases}
Pergunta: “Qual o valor de [p) para que o sistema admita uma solução única?”
Dados relevantes (extraídos do enunciado): os coeficientes das incógnitas (x,y,z) formam a matriz
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática de conceito necessário):
Para sistemas quadrados (3\times3 neste caso), existe um critério simples: o sistema tem solução única se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Vou explicar isso com calma.
O determinante de uma matriz 3\times3 é um número calculado a partir dos coeficientes. Se esse número for zero, as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes e o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções; se for diferente de zero, as linhas são independentes e o sistema tem exatamente uma solução.
Como precisamos de uma condição sobre p (no item 9) e sobre k (no item 10), vamos calcular o determinante de cada matriz em função dessas letras e exigir que ele seja diferente de zero.
Breve explicação prática de como calcular o determinante de uma matriz 3\times3 pelo desenvolvimento pela primeira linha (método que vou usar):
Se
M=\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix},
Aqui cada pequeno determinante 2\times2 é calculado por \det\begin{pmatrix}u & v\\\ w & t\end{pmatrix}=u\cdot t - v\cdot w.
Vou aplicar isso passo a passo nas duas matrizes.]
Passo 3
Resolver a Questão 9 — cálculo do determinante da matriz dos coeficientes:
Condição para solução única da Questão 9 e conclusão:
Pelo critério: o sistema tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq 0.
Temos \det(A)=2(p+1). Isso é diferente de zero quando 2(p+1)\neq 0, ou seja quando p+1\neq 0.
Portanto a condição é p\neq -1.
Comentário amigo: se p=-1 o determinante é zero e aí o sistema não terá solução única — poderia ser incompatível (sem solução) ou ter infinitas soluções; a questão apenas pediu quando há solução única, então ficamos com p\neq -1. Respira, foi só isso.
Passo 5
Resolver a Questão 10 — cálculo do determinante da matriz dos coeficientes:
Condição para o sistema da Questão 10 ser compatível e determinado:
“Compatível e determinado” significa: existe solução e ela é única; para sistemas quadrados isso é exatamente a condição \det(B)\neq 0.
Temos \det(B)=1-4k. Assim o determinante é diferente de zero quando 1-4k\neq 0, i.e. quando k\neq \tfrac{1}{4}.
Portanto, para todo k diferente de \tfrac{1}{4} o sistema é compatível e determinado (tem exatamente uma solução). Se k=\tfrac{1}{4} o determinante é zero e o sistema deixa de ser determinado (poderá ser incompatível ou ter infinitas soluções).