1. Qual o valor de p para que o sistema \left\{\begin{array}{l}p x+y-z=4 \\\ x+p y+z=0 \\\ x-y=2\end{array}\right. admita uma solução única?
  2. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 3 x-y+2 z=3 \text { é compatível e } \\\ y+k z=-2\end{array}\right.éí determinado?

Passo 1

Questões e dados do enunciado (vou separar as duas questões para ficar claro):
Questão 9 — o que é pedido:
\begin{cases} p x + y - z = 4\\[4pt] x + p y + z = 0\\[4pt] x - y = 2 \end{cases}
Pergunta: “Qual o valor de [p) para que o sistema admita uma solução única?”
Dados relevantes (extraídos do enunciado): os coeficientes das incógnitas (x,y,z) formam a matriz
A=\begin{pmatrix}p & 1 & -1\\[4pt]1 & p & 1\\[4pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}
e o termo independente é o vetor (4,0,2)^T.
Questão 10 — o que é pedido:
\begin{cases} x+y+z=1\\[4pt] 3x-y+2z=3\\[4pt] y+kz=-2 \end{cases}
Pergunta: “Para quais valores de (k] o sistema linear é compatível e determinado?” (isto é, tem solução e essa solução é única.)
Dados relevantes (extraídos do enunciado): os coeficientes das incógnitas (x,y,z) formam a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]3 & -1 & 2\\[4pt]0 & 1 & k\end{pmatrix}
e o termo independente é o vetor (1,3,-2)^T.]

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática de conceito necessário):
  • Para sistemas quadrados ( 3\times3 neste caso), existe um critério simples: o sistema tem solução única se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Vou explicar isso com calma.
  • O determinante de uma matriz 3\times3 é um número calculado a partir dos coeficientes. Se esse número for zero, as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes e o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções; se for diferente de zero, as linhas são independentes e o sistema tem exatamente uma solução.
  • Como precisamos de uma condição sobre p (no item 9) e sobre k (no item 10), vamos calcular o determinante de cada matriz em função dessas letras e exigir que ele seja diferente de zero.
Breve explicação prática de como calcular o determinante de uma matriz 3\times3 pelo desenvolvimento pela primeira linha (método que vou usar):
Se
M=\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix},
então
\det(M)=a\cdot\det\begin{pmatrix}e & f\\[4pt]h & i\end{pmatrix} - b\cdot\det\begin{pmatrix}d & f\\[4pt]g & i\end{pmatrix} + c\cdot\det\begin{pmatrix}d & e\\[4pt]g & h\end{pmatrix}.
Aqui cada pequeno determinante 2\times2 é calculado por \det\begin{pmatrix}u & v\\\ w & t\end{pmatrix}=u\cdot t - v\cdot w.
Vou aplicar isso passo a passo nas duas matrizes.]

Passo 3

Resolver a Questão 9 — cálculo do determinante da matriz dos coeficientes:
A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}p & 1 & -1\\[4pt]1 & p & 1\\[4pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}.
Usando a fórmula do Passo 2 (desenvolvimento pela primeira linha):
\det(A)=p\cdot\det\begin{pmatrix}p & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & p\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada determinante 2\times2 com calma:
  • \det\begin{pmatrix}p & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}=p\cdot0 - 1\cdot(-1)=0+1=1.
  • \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0 - 1\cdot1=0-1=-1.
  • \det\begin{pmatrix}1 & p\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-p\cdot1=-1-p.
Substituindo esses valores em \det(A):
\det(A)=p\cdot 1 - 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1-p).
Façamos as somas passo a passo:
  • p\cdot 1 = p.
  • -1\cdot(-1) = +1.
  • (-1)\cdot(-1-p)=+1+p.
Somando tudo:
\det(A)=p + 1 + 1 + p = 2p + 2 = 2(p+1).]

Passo 4

Condição para solução única da Questão 9 e conclusão:
  • Pelo critério: o sistema tem solução única se, e somente se, \det(A)\neq 0.
  • Temos \det(A)=2(p+1). Isso é diferente de zero quando 2(p+1)\neq 0, ou seja quando p+1\neq 0.
  • Portanto a condição é p\neq -1.
Comentário amigo: se p=-1 o determinante é zero e aí o sistema não terá solução única — poderia ser incompatível (sem solução) ou ter infinitas soluções; a questão apenas pediu quando há solução única, então ficamos com p\neq -1. Respira, foi só isso.

Passo 5

Resolver a Questão 10 — cálculo do determinante da matriz dos coeficientes:
A matriz dos coeficientes é
B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]3 & -1 & 2\\[4pt]0 & 1 & k\end{pmatrix}.
Aplicando o desenvolvimento pela primeira linha:
\det(B)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & k\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]0 & k\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calculemos os 2\times2:
  • \det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & k\end{pmatrix}=(-1)\cdot k - 2\cdot1 = -k - 2.
  • \det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]0 & k\end{pmatrix}=3\cdot k - 2\cdot0 = 3k.
  • \det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1 - (-1)\cdot0 = 3.
Substituindo:
\det(B)=1\cdot(-k - 2) -1\cdot(3k) + 1\cdot 3 = -k -2 -3k +3.
Somando termos semelhantes:
\det(B)=(-k-3k)+(-2+3) = -4k +1 = 1-4k.]

Passo 6

Condição para o sistema da Questão 10 ser compatível e determinado:
  • “Compatível e determinado” significa: existe solução e ela é única; para sistemas quadrados isso é exatamente a condição \det(B)\neq 0.
  • Temos \det(B)=1-4k. Assim o determinante é diferente de zero quando 1-4k\neq 0, i.e. quando k\neq \tfrac{1}{4}.
  • Portanto, para todo k diferente de \tfrac{1}{4} o sistema é compatível e determinado (tem exatamente uma solução). Se k=\tfrac{1}{4} o determinante é zero e o sistema deixa de ser determinado (poderá ser incompatível ou ter infinitas soluções).

Resposta

p\neq -1
k\neq \tfrac{1}{4}

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