Discuta os sistemas:
a) \left\{\begin{array}{l}m x+y=2 \\\ x-y=m\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{l}k x+y=1 \\\ x+y=2\end{array}\right.
Passo 1
Enunciado e dados claros: precisamos “discutir” dois sistemas lineares (ou seja, decidir quando têm solução única, infinitas soluções ou nenhuma e, quando houver, achar a solução).
a) O sistema é
\begin{cases} m x + y = 2,\\[4pt] x - y = m. \end{cases}
As incógnitas são [x) e y; m é um parâmetro (número real) dado.
b) O sistema é
\begin{cases} k x + y = 1,\\[4pt] x + y = 2. \end{cases}
As incógnitas são x\] e \(y; k é um parâmetro (número real) dado.
O que o enunciado pede (explicitado): para cada sistema, determinar para quais valores do parâmetro o sistema tem solução única, não tem solução ou tem infinitas soluções, e apresentar a(s) solução(ões) quando existirem.]
Passo 2
Conceito importante (rápido e prático): para um sistema linear 2\times2\)
\[\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1,\\[4pt] a_{21}x + a_{22}y = b_2, \end{cases}
definimos o determinante dos coeficientes
D = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Se D\neq 0\], o sistema tem solução única (podemos usar regra de Cramer ou eliminação).
- Se \(D=0, as retas podem ser coincidentes (infinitas soluções) ou paralelas distintas (nenhuma solução); aí comparamos combinações para ver qual caso ocorre.
Vamos aplicar isso aos dois sistemas.]
Passo 3
Analisando o sistema (a). Coeficientes e determinante:
Os coeficientes formam a matriz
\begin{pmatrix} m & 1 \\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante D:
D = m\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -m-1 = -(m+1).
Portanto D=0 exatamente quando m+1=0, isto é, quando m=-1. Seguem os dois casos.]
Passo 4
Caso m\neq -1 (ou seja, D\neq 0): há solução única. Vou usar a regra de Cramer (fácil para 2\times2).
Determinante substituindo coluna dos x por termos independentes (chamamos de D_x):
D_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[4pt] m & -1 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1) - 1\cdot m = -2 - m = -(m+2).
Determinante substituindo coluna dos y por termos independentes (chamamos de D_y):
D_y = \begin{vmatrix} m & 2 \\[4pt] 1 & m \end{vmatrix} = m\cdot m - 2\cdot 1 = m^2 - 2.
Então as soluções são
x = \frac{D_x}{D}=\frac{-(m+2)}{-(m+1)}=\frac{m+2}{m+1},
y = \frac{D_y}{D}=\frac{m^2-2}{-(m+1)}=\frac{2-m^2}{m+1}.
Posso dar uma forma alternativa para y se quiser: y=\dfrac{2-m^2}{m+1}. Essas fórmulas valem para todo m\neq -1. É bom verificar (mentalmente) que não há divisão por zero nesse caso.]
Passo 5
Caso m=-1\) (ou seja, \(D=0\)): analisamos consistência.
Substituindo \(m=-1\) no sistema obtemos
\[\begin{cases} -1\cdot x + y = 2 \quad\text{(ou } -x+y=2\text{)},\\[4pt] x - y = -1. \end{cases}
y = 2 - x = 2 - \left(\frac{-1}{k-1}\right) = 2 + \frac{1}{k-1}.
Colocando em única fração:
y = \frac{2(k-1) + 1}{k-1} = \frac{2k-1}{k-1}.
Portanto, para k\neq 1,
x = -\frac{1}{k-1},\qquad y = \frac{2k-1}{k-1}.
Passo 9
Caso k=1\) (ou seja, \(D=0\)): substituindo em (b) obtemos
\[\begin{cases} 1\cdot x + y = 1,\\[4pt] x + y = 2. \end{cases}
As duas equações têm o mesmo lado esquerdo x+y\] igual a dois valores diferentes (\(1 e 2), o que é impossível. Logo o sistema é incompatível: não existe solução quando k=1. Não há caso de infinitas soluções aqui, porque as retas têm mesmas direções mas termos independentes distintos.]
Passo 10
Resumo do item (b):
Para k\neq 1: sistema possível e determinado com
x = -\frac{1}{k-1},\qquad y = \frac{2k-1}{k-1}.
Para k=1: sistema incompatível (nenhuma solução).
Resposta
a) Para m\neq -1: solução \displaystyle x=\frac{m+2}{m+1},\; y=\frac{2-m^2}{m+1}. Para m=-1: sistema incompatível (sem solução).
b) Para k\neq 1: solução \displaystyle x=-\frac{1}{k-1},\; y=\frac{2k-1}{k-1}. Para k=1: sistema incompatível (sem solução).