Escavam-se espécies de rocha, submetendo-os a uma análise química para determinar o conteúdo percentual de cádmio. Foram analisados 5 espécimes e obtidos os seguintes resultados
9,810,58,211,612,8
Supõe-se que a extração comercial desse mineral seja viável se o conteúdo médio for no mínimo 8 e que a distribuição da população de percentual de cádmio é normal.
Construa um intervalo de confiança de 95 % para o conteúdo médio de cádmio na formação. Interprete.

Passo 1

Beleza! A gente tem 5 medidas do teor de cádmio numa rocha:
9,8,;10,5,;8,2,;11,6,;12,8
A ideia é construir um intervalo de confiança de 95 % para a média real desse teor, assumindo que a distribuição é normal mas não sabendo a variância verdadeira.
Conteúdo da matéria: intervalo de confiança para média com distribuição t de Student (quando a variância é desconhecida).
O que vamos precisar:
  1. Calcular a média amostral .
  2. Calcular o desvio padrão amostral .
  3. Encontrar o valor crítico para 95 % e graus de liberdade.
  4. Montar o intervalo .

Passo 2

Primeiro, a média amostral:
bar x = 1nsumi=1^n xi = 9,8 + 10,5 + 8,2 + 11,6 + 12,85 = 52,95 = 10,58
Isso representa o “centro” dos nossos dados.

Passo 3

Agora o desvio padrão amostral s = raiz1n-1sumi=1^n (xi - bar x)^2 . A fórmula é
(9,8 - 10,58)^2 &= 0,6084, (10,5 - 10,58)^2 &= 0,0064, (8,2 - 10,58)^2 &= 5,6644, (11,6 - 10,58)^2 &= 1,0404, (12,8 - 10,58)^2 &= 4,9284
Calculando cada termo:
s = raiz0,6084 + 0,0064 + 5,6644 + 1,0404 + 4,92844 = raiz12,2484 = raiz3,062 approx 1,75
Somando e dividindo por :

Passo 4

Como não sabemos a variância real, usamos a t de Student com t0,975,,4 approx 2,776 graus de liberdade. Para 95 % de confiança, o valor crítico é
Isso significa que 95 % das vezes o desvio da média estará dentro de desvios-padrão amostrais divididos por .

Passo 5

Montando o intervalo de confiança:
bar x pm t ,sraizn = 10,58 pm 2,776 times 1,75raiz5 = 10,58 pm 2,17
Logo, o intervalo é aproximadamente
[10,58 - 2,17,;10,58 + 2,17] = [8,41,;12,75]

Passo 6

Interpretação: estamos 95 % confiantes de que o verdadeiro teor médio de cádmio na formação está entre 8,41 % e 12,75 %. Como o limite inferior (8,41 %) é maior que 8 %, isso indica que a extração comercial é viável segundo o critério dado.

Resposta

O intervalo de confiança de 95 % para o teor médio de cádmio é aproximadamente .

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