Use análise de escala e o conceito de tempo de difusão viscosa mostrado em aula para demonstrar que:
O arrasto gerado pela esteira do cilindro será:
- Dominado pelos efeitos viscosos do escoamento se
- Dominado pela forma do cilindro e pelo seu bloqueio à passagem do escoamento se
O arrasto gerado pela esteira do cilindro será:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por análise de escala e usando o conceito de tempo de difusão viscosa visto em aula, que:
- O arrasto gerado pela esteira do cilindro é dominado por efeitos viscosos quando
. - O arrasto é dominado pela forma do cilindro (bloqueio / pressão) quando
.
Informações e símbolos que vamos usar (tudo dado ou padrão em problemas desse tipo):
Definição do número de Reynolds que aparece no enunciado:
Também usaremos os tempos característicos:
Passo 2
Definir e comparar os tempos característicos (essa é a ideia central da análise de escala).
O tempo de difusão viscosa através de uma região de dimensão característica é
O tempo de difusão viscosa através de uma região de dimensão característica
O tempo de advecção (tempo que a corrente leva para transportar fluido pela distância
) é
Calcule a razão entre esses tempos:
Interpretação física direta dessa igualdade:
- Se
então : a difusão viscosa ocorre muito mais rápido que a advecção — a viscosidade tem tempo de difundir a quantidade de movimento por toda a vizinhança do corpo. - Se
então : a advecção é muito rápida e a viscosidade não tem tempo de difundir longe — os efeitos viscosos ficam confinados a camadas finas.
Passo 3
Conseqüências para
(regime viscoso, “Stokes-like”).
Física: como , a viscosidade domina a dinâmica em toda a região de dimensão
: a velocidade do fluido ajusta-se por difusão viscosa e não por inércia. O arrasto é então um arrasto viscoso (forças de cisalhamento viscoso ao longo da superfície), cujo módulo escala com a viscosidade e com a velocidade, não com a pressão dinâmica
.
Física: como
Escala do arrasto por unidade de comprimento (cilindro longo; vamos deduzir apenas a dependência com as grandezas):
A escala de tensão de cisalhamento viscosa típica é quando a variação de velocidade acontece na escala
. Multiplicando por uma área lateral característica por unidade de comprimento
obtemos a força por unidade de comprimento
A escala de tensão de cisalhamento viscosa típica é
Escrever isso em termos da escala dinâmina
usando
e
:
Conclusão de escala: em
o arrasto viscoso escala como
, ou seja, cresce como
relativo à referência
. Portanto, quando
o arrasto é dominado por termos viscosos — a contribuição inercial/pressão é negligenciável.
Comentário prático e encorajador: isto é a razão por que, em microfluídica ou para partículas muito pequenas e velocidades baixas, as forças viscosas mandam no jogo.
Passo 4
Conseqüências para
(regime inercial com camada limite).
Física: como , a advecção transporta o fluido mais rápido do que a viscosidade consegue difundir momento. Assim, a maior parte do escoamento fora de uma vizinhança muito fina é praticamente inercial (quase potencial) e os efeitos viscosos ficam confinados a uma camada limite próxima à parede do cilindro. Essa camada tem espessura muito menor que
.
Física: como
Determinar a espessura da camada limite por análise de escala (balanceando convecção e difusão no termo de momento):
No interior da camada limite a equação de momento tem dois termos importantes: advecção e difusão viscosa na direção normal
. Escalando
e
, onde
é a espessura da camada, e usando velocidade típica
, obtemos
No interior da camada limite a equação de momento tem dois termos importantes: advecção
Cancelar um fator
e isolar
:
Logo, para
,
.
Agora estime a contribuição viscosa ao arrasto (cisalhamento na parede) no regime de altas Reynolds:
A tensão viscosa na superfície escala com . Multiplicando por uma área por unidade de comprimento
,
A tensão viscosa na superfície escala com
Substituindo
:
Reescrevendo em termos de
(usar
e
) obtemos
Note que essa contribuição decresce como
quando
cresce.
Por outro lado, a contribuição de pressão (arrasto de forma, devido ao bloqueio do corpo e à separação de camada) escala com a pressão dinâmica vezes a área frontal:
Comparação de ordens: para
,
portanto o arrasto total é dominado pela componente de pressão/forma (bloqueio e separação), e a contribuição viscosa é pequena.
Passo 5
Resumo físico e conclusão lógica (alingnada com as escalas obtidas):
- Em
: , a viscosidade tem tempo de difundir o momento por uma região da ordem de . O arrasto escala com (ou em termos dinâmicos ), portanto os efeitos viscosos dominam. - Em
: , a advecção domina, a viscosidade age apenas numa camada limite fina de espessura . A força viscosa na parede é pequena ( ) perante o arrasto por pressão . Logo o arrasto é dominado pela forma do cilindro e pelo bloqueio do escoamento (arrasto de pressão).
Força final de ânimo: você viu que tudo se reduz à comparação de dois tempos simples e a alguns passos de análise dimensional — é uma técnica poderosa usada sempre em provas e em problemas reais.
Resposta
Dominado pelos efeitos viscosos do escoamento se
.
Dominado pela forma do cilindro e pelo seu bloqueio à passagem do escoamento se .
Dominado pela forma do cilindro e pelo seu bloqueio à passagem do escoamento se