Use análise de escala e o conceito de tempo de difusão viscosa mostrado em aula para demonstrar que:
O arrasto gerado pela esteira do cilindro será:
  • Dominado pelos efeitos viscosos do escoamento se R e \ll 1
  • Dominado pela forma do cilindro e pelo seu bloqueio à passagem do escoamento se R e \gg 1

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por análise de escala e usando o conceito de tempo de difusão viscosa visto em aula, que:
  • O arrasto gerado pela esteira do cilindro é dominado por efeitos viscosos quando Re \ll 1.
  • O arrasto é dominado pela forma do cilindro (bloqueio / pressão) quando Re \gg 1.
Informações e símbolos que vamos usar (tudo dado ou padrão em problemas desse tipo):
a\quad\text{(raio característico do cilindro)},\quad U\quad\text{(velocidade livre do escoamento)},\quad \nu\quad\text{(viscosidade cinemática)},\quad \rho\quad\text{(densidade do fluido)},\quad \mu=\rho\nu\quad\text{(viscosidade dinâmica)}.íáâ
Definição do número de Reynolds que aparece no enunciado:
Re = \frac{U a}{\nu}.
Também usaremos os tempos característicos:
t_\nu\\ \text{(tempo de difusão viscosa na escala \(a\))},\qquad t_a\ \text{(tempo de advecção sobre a escala \(a\))}.ãçã

Passo 2

Definir e comparar os tempos característicos (essa é a ideia central da análise de escala).
O tempo de difusão viscosa através de uma região de dimensão característica a é
t_\nu \sim \frac{a^2}{\nu}.
O tempo de advecção (tempo que a corrente leva para transportar fluido pela distância a) é
t_a \sim \frac{a}{U}.
Calcule a razão entre esses tempos:
\frac{t_\nu}{t_a} \sim \frac{a^2/\nu}{a/U} = \frac{aU}{\nu} = Re.
Interpretação física direta dessa igualdade:
  • Se Re \ll 1 então t_\nu \ll t_a: a difusão viscosa ocorre muito mais rápido que a advecção — a viscosidade tem tempo de difundir a quantidade de movimento por toda a vizinhança do corpo.
  • Se Re \gg 1 então t_\nu \gg t_a: a advecção é muito rápida e a viscosidade não tem tempo de difundir longe — os efeitos viscosos ficam confinados a camadas finas.

Passo 3

Conseqüências para Re \ll 1 (regime viscoso, “Stokes-like”).
Física: como t_\nu \ll t_a, a viscosidade domina a dinâmica em toda a região de dimensão a: a velocidade do fluido ajusta-se por difusão viscosa e não por inércia. O arrasto é então um arrasto viscoso (forças de cisalhamento viscoso ao longo da superfície), cujo módulo escala com a viscosidade e com a velocidade, não com a pressão dinâmica \rho U^2.
Escala do arrasto por unidade de comprimento (cilindro longo; vamos deduzir apenas a dependência com as grandezas):
A escala de tensão de cisalhamento viscosa típica é \tau \sim \mu \dfrac{U}{a} quando a variação de velocidade acontece na escala a. Multiplicando por uma área lateral característica por unidade de comprimento \sim a obtemos a força por unidade de comprimento
\frac{F_{\text{visc}}}{L} \sim \mu \frac{U}{a}\cdot a \sim \mu U.
Escrever isso em termos da escala dinâmina \rho U^2 a usando \mu=\rho\nu e Re=Ua/\nu:
\frac{F_{\text{visc}}}{L} \sim \mu U = \rho \nu U = \rho U^2 a \left(\frac{\nu}{Ua}\right) = \rho U^2 a\, Re^{-1}.
Conclusão de escala: em Re\ll 1 o arrasto viscoso escala como \rho U^2 a\, Re^{-1}, ou seja, cresce como Re^{-1} relativo à referência \rho U^2 a. Portanto, quando Re\to 0 o arrasto é dominado por termos viscosos — a contribuição inercial/pressão é negligenciável.
Comentário prático e encorajador: isto é a razão por que, em microfluídica ou para partículas muito pequenas e velocidades baixas, as forças viscosas mandam no jogo.

Passo 4

Conseqüências para Re \gg 1 (regime inercial com camada limite).
Física: como t_\nu \gg t_a, a advecção transporta o fluido mais rápido do que a viscosidade consegue difundir momento. Assim, a maior parte do escoamento fora de uma vizinhança muito fina é praticamente inercial (quase potencial) e os efeitos viscosos ficam confinados a uma camada limite próxima à parede do cilindro. Essa camada tem espessura muito menor que a.
Determinar a espessura da camada limite por análise de escala (balanceando convecção e difusão no termo de momento):
No interior da camada limite a equação de momento tem dois termos importantes: advecção \sim U\partial_x U e difusão viscosa na direção normal \sim \nu \partial^2_y U. Escalando \partial_x \sim 1/a e \partial^2_y \sim 1/\delta^2, onde \delta é a espessura da camada, e usando velocidade típica U, obtemos
\frac{U^2}{a} \sim \nu \frac{U}{\delta^2}.
Cancelar um fator U e isolar \delta:
\frac{U}{a} \sim \frac{\nu}{\delta^2}\quad\Rightarrow\quad \delta \sim a\,Re^{-1/2}.
Logo, para Re\gg1, \delta\ll a.
Agora estime a contribuição viscosa ao arrasto (cisalhamento na parede) no regime de altas Reynolds:
A tensão viscosa na superfície escala com \tau_w \sim \mu \dfrac{U}{\delta}. Multiplicando por uma área por unidade de comprimento \sim a,
\frac{F_{\text{visc,BL}}}{L} \sim \mu \frac{U}{\delta}\,a \sim \mu U \frac{a}{\delta}.
Substituindo \delta\sim a Re^{-1/2}:
\frac{F_{\text{visc,BL}}}{L} \sim \mu U\, Re^{1/2}.
Reescrevendo em termos de \rho U^2 a (usar \mu=\rho\nu e Re=Ua/\nu) obtemos
\frac{F_{\text{visc,BL}}}{L} \sim \rho U^2 a\, Re^{-1/2}.
Note que essa contribuição decresce como Re^{-1/2} quando Re cresce.
Por outro lado, a contribuição de pressão (arrasto de forma, devido ao bloqueio do corpo e à separação de camada) escala com a pressão dinâmica vezes a área frontal:
\frac{F_{\text{press}}}{L} \sim \rho U^2 a.
Comparação de ordens: para Re\gg1,
\frac{F_{\text{visc,BL}}}{F_{\text{press}}} \sim Re^{-1/2}\ll 1,
portanto o arrasto total é dominado pela componente de pressão/forma (bloqueio e separação), e a contribuição viscosa é pequena.

Passo 5

Resumo físico e conclusão lógica (alingnada com as escalas obtidas):
  • Em Re\ll1: t_\nu \ll t_a, a viscosidade tem tempo de difundir o momento por uma região da ordem de a. O arrasto escala com \mu U (ou em termos dinâmicos \rho U^2 a\, Re^{-1}), portanto os efeitos viscosos dominam.
  • Em Re\gg1: t_\nu \gg t_a, a advecção domina, a viscosidade age apenas numa camada limite fina de espessura \delta\sim a Re^{-1/2}. A força viscosa na parede é pequena ( \sim \rho U^2 a\,Re^{-1/2}) perante o arrasto por pressão \sim \rho U^2 a. Logo o arrasto é dominado pela forma do cilindro e pelo bloqueio do escoamento (arrasto de pressão).
Força final de ânimo: você viu que tudo se reduz à comparação de dois tempos simples e a alguns passos de análise dimensional — é uma técnica poderosa usada sempre em provas e em problemas reais.

Resposta

Dominado pelos efeitos viscosos do escoamento se Re \ll 1.
Dominado pela forma do cilindro e pelo seu bloqueio à passagem do escoamento se Re \gg 1.

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