Um escoamento incompressível e sem atrito é descrito pelo campo de velocidades em que
, e as coordenadas são dadas em metros.
a) Determinar a aceleração total da partícula fluida no ponto
;
b) Determinar o módulo e a direção da aceleração;
c) Admitindo água
e
, determinar o gradiente de pressão no ponto.
b) Determinar o módulo e a direção da aceleração;
c) Admitindo água
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Velocidade do escoamento:
. - Constantes:
, . - Coordenadas em metros; ponto onde calcular:
. - Densidade da água:
. - Gravidade:
(manterei simbólico e, quando conveniente, usarei ).
- Velocidade do escoamento:
-
O que o enunciado pede:
a) A aceleração total (aceleração material) da partícula fluida no ponto.
b) O módulo e a direção dessa aceleração.
c) O gradiente de pressãono ponto, usando e .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A aceleração total de uma partícula fluida é a derivada material da velocidade:
- Aqui
é a taxa de variação local (variação no tempo no mesmo ponto do espaço). -
é a aceleração convectiva: mesmo que o campo seja estacionário, uma partícula que se move vê mudanças espaciais da velocidade. - No nosso caso o campo de velocidades é independente do tempo, logo
e
- Para calcular
em coordenadas cartesianas, escrevemos e
Vou aplicar isso ao campo dado.
Passo 3
Identificar
e
e suas derivadas parciais:
- Definir componentes:
- Derivadas parciais (variam com as constantes
, mas são constantes espacialmente aqui):
- Portanto, as componentes da aceleração em forma simbólica ficam:
Agora vamos avaliar no ponto
usando
e
.
Passo 4
Calcular
e
no ponto e as componentes da aceleração:
- Primeiro
e em :
- Agora
e :
- Logo a aceleração total no ponto é
Passo 5
Calcular módulo e direção da aceleração (explicando cada passo):
- Módulo:
Numericamente
- Direção: dá para expressar como vetor unitário ou como ângulo medido a partir do eixo
. - Vetor unitário na direção de
:
- Ângulo
medido a partir do eixo (sentido anti-horário): primeiro . A arctangente de é aproximadamente . Como e (terceiro quadrante), o ângulo absoluto é
(ou em radianos .) - Vetor unitário na direção de
Passo 6
Obter o gradiente de pressão a partir da equação de Euler (explicação):
- Para um escoamento incompressível, sem atrito (inviscid) e estacionário, a equação de Euler é
- Isolando
:
- Vamos usar
que já encontramos, e .
Passo 7
Calcular componentes do gradiente de pressão:
- Com
e , tem-se
Escrevendo mais limpo:
- Substituindo números (
, , ):
- Se usar
,
- Portanto, o gradiente de pressão no ponto é aproximadamente
quando se toma
. Em forma simbólica (deixando
):
Resposta
a)
\n
b) direção
(ângulo
a partir do eixo
).\n
c) (numérico com
:
).
b)
c)