Um escoamento incompressível e sem atrito é descrito pelo campo de velocidades em que A= 1 s^{-1}, B=3 s^{-1}, e as coordenadas são dadas em metros.
\vec{V}=(A x-B y) \hat{\imath}+(B x+A y) \hat{\jmath}
a) Determinar a aceleração total da partícula fluida no ponto (x, y)=(1,2);
b) Determinar o módulo e a direção da aceleração;
c) Admitindo água \left(\rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e \left.\vec{g}=-g \hat{\jmath}\right), determinar o gradiente de pressão no ponto.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade do escoamento: \vec{V}=(A x-B y)\,\hat{\imath}+(B x+A y)\,\hat{\jmath}.
    • Constantes: A=1\\ \mathrm{s^{-1}}, B=3\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Coordenadas em metros; ponto onde calcular: (x,y)=(1,2).
    • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
    • Gravidade: \vec{g}=-g\,\hat{\jmath} (manterei g simbólico e, quando conveniente, usarei g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}).
  • O que o enunciado pede:
    a) A aceleração total (aceleração material) da partícula fluida no ponto (1,2).
    b) O módulo e a direção dessa aceleração.
    c) O gradiente de pressão \nabla p no ponto, usando \rho e \vec g.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A aceleração total de uma partícula fluida é a derivada material da velocidade:
\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
  • Aqui \frac{\partial\vec{V}}{\partial t} é a taxa de variação local (variação no tempo no mesmo ponto do espaço).
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração convectiva: mesmo que o campo seja estacionário, uma partícula que se move vê mudanças espaciais da velocidade.
  • No nosso caso o campo de velocidades é independente do tempo, logo \frac{\partial\vec V}{\partial t}=0 e
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
  • Para calcular (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} em coordenadas cartesianas, escrevemos \vec{V}=u(x,y)\,\hat{\imath}+v(x,y)\,\hat{\jmath} e
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}=\big(u\partial_x u+v\partial_y u\big)\,\hat{\imath}+\big(u\partial_x v+v\partial_y v\big)\,\hat{\jmath}.
Vou aplicar isso ao campo dado.

Passo 3

Identificar u e v e suas derivadas parciais:
  • Definir componentes:
u(x,y)=A x - B y,\qquad v(x,y)=B x + A y.
  • Derivadas parciais (variam com as constantes A,B, mas são constantes espacialmente aqui):
\partial_x u = A,\qquad \partial_y u = -B,
\partial_x v = B,\qquad \partial_y v = A.
  • Portanto, as componentes da aceleração em forma simbólica ficam:
a_x = u\,\partial_x u + v\,\partial_y u = A u - B v,
a_y = u\,\partial_x v + v\,\partial_y v = B u + A v.
Agora vamos avaliar no ponto (x,y)=(1,2) usando A=1 e B=3.

Passo 4

Calcular u e v no ponto e as componentes da aceleração:
  • Primeiro u e v em (1,2):
u(1,2)=A\cdot1 - B\cdot2 = 1 - 3\cdot2 = 1 - 6 = -5\\ \mathrm{m\,s^{-1}},
v(1,2)=B\cdot1 + A\cdot2 = 3 + 2 = 5\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Agora a_x e a_y:
a_x = A u - B v = 1\cdot(-5) - 3\cdot 5 = -5 - 15 = -20\\ \mathrm{m\,s^{-2}},
a_y = B u + A v = 3\cdot(-5) + 1\cdot 5 = -15 + 5 = -10\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Logo a aceleração total no ponto é
\vec{a} = -20\,\hat{\imath} -10\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m\,s^{-2}}).

Passo 5

Calcular módulo e direção da aceleração (explicando cada passo):
  • Módulo:
\lVert\vec{a}\rVert=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}=\sqrt{(-20)^{2}+(-10)^{2}}=\sqrt{400+100}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Numericamente \,10\sqrt{5}\approx 22{,}3607\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Direção: dá para expressar como vetor unitário ou como ângulo medido a partir do eixo +x.
    • Vetor unitário na direção de \vec a:
    \hat{e}_a=\frac{\vec a}{\lVert\vec a\rVert}=\left(\frac{-20}{10\sqrt{5}},\frac{-10}{10\sqrt{5}}\right)=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
    • Ângulo \theta medido a partir do eixo +x (sentido anti-horário): primeiro \tan\theta = a_y/a_x = (-10)/(-20)=1/2. A arctangente de 1/2 é aproximadamente 26{,}565^\circ. Como a_x<0 e a_y<0 (terceiro quadrante), o ângulo absoluto é
    \theta = 180^\circ + 26{,}565^\circ \approx 206{,}565^\circ.(ou em radianos \theta\approx \pi + 0{,}46365\\ \mathrm{rad}\approx 3{,}60524\\ \mathrm{rad}.)

Passo 6

Obter o gradiente de pressão a partir da equação de Euler (explicação):
  • Para um escoamento incompressível, sem atrito (inviscid) e estacionário, a equação de Euler é
\rho\,\frac{D\vec{V}}{Dt}=-\nabla p+\rho\,\vec{g}.
  • Isolando \nabla p:
\nabla p = -\rho\,\frac{D\vec{V}}{Dt}+\rho\,\vec{g}.
  • Vamos usar \vec a=\frac{D\vec V}{Dt} que já encontramos, \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} e \vec g=(0,-g).

Passo 7

Calcular componentes do gradiente de pressão:
  • Com \vec a = (a_x,a_y)=(-20,-10)\\ \mathrm{m\,s^{-2}} e \vec g=(0,-g), tem-se
\nabla p = (-\rho a_x)\,\hat{\imath}+(-\rho a_y+\rho(-g))\,\hat{\jmath}.
Escrevendo mais limpo:
\nabla p = \big(-\rho a_x\big)\,\hat{\imath}+\big(-\rho a_y-\rho g\big)\,\hat{\jmath}.
  • Substituindo números ( \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, a_x=-20, a_y=-10):
(\nabla p)_x = -1000\cdot(-20)=20000\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}},
(\nabla p)_y = -1000\cdot(-10)-1000\cdot g = 10000 - 1000 g\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}.
  • Se usar g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}},
(\nabla p)_y = 10000 - 1000\cdot 9{,}81 = 10000 - 9810 = 190\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}.
  • Portanto, o gradiente de pressão no ponto é aproximadamente
\boxed{\nabla p = 20000\,\hat{\imath}+190\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}}
quando se toma g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}. Em forma simbólica (deixando g):
\nabla p = 20000\,\hat{\imath} + (10000-1000 g)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}.

Resposta

a) \vec{a}=-20\,\hat{\imath}-10\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\n
b) \lVert\vec{a}\rVert=10\sqrt{5}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\approx22{,}3607\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, direção \hat{e}_a=\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}},-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) (ângulo \approx206{,}565^\circ a partir do eixo +x).\n
c) \nabla p = 20000\,\hat{\imath} + (10000-1000 g)\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}} (numérico com g=9{,}81: \nabla p \approx 20000\,\hat{\imath}+190\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}).

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