Ar escoa de um reservatório mantido a 20 ^circ C através de um bocal convergente-divergente com diâmetro da garganta de 6 cm e diâmetro de saída 12 cm para um receptor. Qual o número de Mach em uma posição onde o diâmetro é 10 cm ?

Passo 1

O enunciado diz que temos ar (gás perfeito, γ=1,4) escoando de um reservatório a 20 °C por um bocal convergente-divergente. A garganta tem diâmetro D* = 6 cm (onde o escoamento fica sônico, M=1) e a saída é D_saida = 12 cm. Precisamos achar o número de Mach na seção onde o diâmetro é D = 10 cm.
Conteúdo: escoamento isentrópico compressível. Vamos usar a relação área-razão × Mach para nozzles.

Passo 2

Antes de tudo, o que é Mach e por que “garganta” é especial?
  • Mach (M) é a razão entre a velocidade do escoamento e a velocidade do som.
  • Em bocal convergente-divergente, se o escoamento choca (P₀/Pₑ grande), a garganta (menor área) fica M=1. Então essa área é a área crítica A*.
  • Em qualquer outra seção do bocal, M depende só da razão A/A*, via a fórmula de escoamento isentrópico.

Passo 3

Calcular a área da seção de 10 cm e a área crítica A* (garganta):
A* = π·(D* )²/4 = π·(0,06 m)²/4
A₁₀ = π·(D)²/4 = π·(0,10 m)²/4
Teoricamente basta notar que
A₁₀/A* = (D/D*)² = (0,10/0,06)² ≃ (1,6667)² ≃ 2,78

Passo 4

Relação área-Mach para escoamento isentrópico (γ=1,4):
AA^* ;=;1M;gl[2gamma+1l(1+tfracgamma-12M^2r)gr]^gamma+12(gamma-1)
Aqui A/A* = 2,78. Essa equação tem duas soluções: M<1 (sub) e M>1 (sup). Como estamos na parte divergente do bocal (D>6 cm), a gente escolhe a raiz M>1.

Passo 5

Para achar M numericamente, podemos tentar valores ou usar tabela/inversão.
Testando M≈2,5…2,6 dá:
com M=2,56 → A/A*≈2,78.
Logo M≃2,56 na seção de 10 cm.

Resposta

O número de Mach na seção de diâmetro 10 cm é aproximadamente M = 2,56.

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