Ar escoa de um reservatório mantido a 300 KPa absolutos e 20^circ C para um reservatório mantido a 200 KPa absolutos atravessando um bocal convergente com diâmetro de saída de 4 cm . Calcule a vazão mássica através do bocal.

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede e o que a gente vai usar:
  • Enunciado resumido: ar sai de um reservatório (𝑝₀=300 kPa abs, 𝑇₀=20 °C) e vai pra outro a 200 kPa, passando por um bocal convergente de saída de diâmetro 𝑑=4 cm. A gente quer a vazão mássica (ṁ).
  • Conteúdo: escoamento compressível(isentrópico) em bocal convergente, gás ideal.
  • O que precisamos:
    • Coeficiente adiabático γ (ar ≃1,4)
    • Constante dos gases R (≈287 J/kg·K)
    • Relações isentrópicas p–T e energia (Bernoulli para gás).
    • Checar se o fluxo estrangula (choke) ou não.

Passo 2

Primeiro a gente vê se o bocal está estranglado. Para escoamento isentrópico a pressão crítica de saída é dada por
prm crp0 ;=;l(2gamma+1r)^!gammagamma-1
Substituindo γ=1,4:
prm crp0 = l(tfrac22,4r)^!3,5 approx 0,528
Logo pe =200 kPa
Como a pressão de saída real (200 kPa) é maior que 158,4 kPa, não há estrangulamento. Isso significa que a pressão estática na saída do bocal é igual à pressão do reservatório de descarga:

Passo 3

Agora usamos a relação isentrópica para achar a temperatura estática na saída:
Te = T0 ,l(pep0r)^!tfracgamma-1gamma =293,15,l(tfrac200300r)^0,286
Calculando:
l(tfrac200300r)^0,286approx0,891 Longrightarrow Teapprox293,15times0,891=261,3 K

Passo 4

Usamos a equação de energia (Bernoulli para gás ideal em escoamento isentrópico) para achar a velocidade de saída:
Ve^22 = cp,(T0 - Te),
onde em ar Ve = raiz2,cp,(T0-Te) = raiz2times1005times(293,15-261,3) approx253 m/s . Então

Passo 5

Para achar a vazão mássica:
  1. Área de saída
A = pi d^24 = pi,(0,04)^24 approx1,256times10^-3 m^2
  1. Densidade na saída (gás ideal)
rhoe = peR,Te = 200,000287times261,3 approx2,67 kg/m^3
  1. Vazão mássica
dot m = rhoe ,Ve,A approx2,67times253times1,256times10^-3 approx0,85 kg/s

Resposta

A vazão mássica através do bocal é aproximadamente 0,85 kg/s.

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