O ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é A, com velocidade vs, e sob a parte inferior da asa com velocidade vi. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de sustentação S orientada para cima sobre a asa será
L=12 rho A(vi^2-va^2),
onde rho é a massa específica do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à superfície inferior. Você pode justificar o fato de considerar-se as constantes para as duas linhas de corrente iguais?)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o ar passa em cima da asa com velocidade e em baixo com velocidade , na mesma área . A gente precisa usar a equação de Bernoulli pra duas linhas de corrente (uma perto da superfície superior e outra perto da inferior) e mostrar que a diferença de pressão gera uma força de sustentação
Conteúdo: dinâmica dos fluidos — Equação de Bernoulli
O que vamos precisar:
  • Escrever Bernoulli em cima e em baixo
  • Assumir a mesma constante de Bernoulli (mesma altitude e mesma pressão de referência)
  • Calcular a diferença de pressão
  • Fazer

Passo 2

Primeiro, lembra da equação de Bernoulli para um ponto de um fluxo incompressível e sem variação de altura:
p + tfrac12 rho v^2 = constante
Aqui a gente está deixando de fora o termo porque tanto em cima quanto em baixo a asa está praticamente na mesma altura.

Passo 3

Agora aplica em cima da asa (linha de corrente 1) e embaixo (linha de corrente 2):
Em cima:
ps + tfrac12,rho,vs^2 = C
Embaixo:
pi + tfrac12,rho,vi^2 = C
Como as duas constantes são iguais (mesma origem do fluxo, mesma pressão de referência e mesma altura), podemos igualar as expressões.

Passo 4

Fazendo pi + tfrac12rho vi^2 = ps + tfrac12rho vs^2 Longrightarrow pi - ps = tfrac12,rho,(vs^2 - vi^2)times(-1) = tfrac12,rho,(vi^2 - vs^2) e resolvendo para a diferença de pressão :

Passo 5

A força de sustentação S = (pi - ps),A = tfrac12,rho,A,(vi^2 - vs^2) é justamente essa diferença de pressão vezes a área da asa, apontando para cima:

Resposta

boxed,L = S = 12,rho,Al(vi^2 - vs^2r),

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