Dado uma densidade de corrente J=J z atravessando um objeto com simetria azimutal (eixo z ), sendo p=integral(z), e uma carga com velocidade v=v z, encontre a força que o objeto exerce sobre a carga q e escreva especificamente a equação de movimento ( F=m a ) no plano (p;z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe envolve Eletromagnetismo, mais especificamente a interação entre uma corrente elétrica e uma carga em movimento. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir qual é a força que um objeto com uma densidade de corrente J = J z exerce sobre uma carga q que está se movendo com uma velocidade v = v z. Para isso, vamos usar conceitos de campo magnético e força de Lorentz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a densidade de corrente J = J z. Isso significa que temos uma corrente elétrica fluindo na direção do eixo z. Para encontrar o campo magnético B gerado por essa corrente, podemos usar a Lei de Ampère ou a Lei de Biot-Savart, mas como o objeto tem simetria azimutal, fica mais fácil aplicar a Lei de Ampère.

Passo 3

A Lei de Ampère nos diz que:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Onde Ienc é a corrente total que passa pelo caminho de integração. Como a corrente está ao longo do eixo z e somos simétricos em torno desse eixo, o campo magnético B vai circular em torno do eixo z. Usando coordenadas cilíndricas, podemos dizer que B = Bphi phi.

Passo 4

Calculando a corrente envolvida Ienc, temos que Ienc = J cdot A, onde A é a área através da qual a corrente passa. Se considerarmos uma distância radial p, então a área é A = pi p^2. Portanto:
Ienc = J pi p^2

Passo 5

Substituindo na Lei de Ampère:
Bphi cdot 2pi p = mu0 J pi p^2
Resolvendo para Bphi:
Bphi = mu0 J p2

Passo 6

Agora que temos o campo magnético B, podemos calcular a força que ele exerce sobre a carga q em movimento. A força de Lorentz é dada por:
F = q (v times B)
Aqui, v = v z e B = Bphi phi. Vamos calcular o produto vetorial.

Passo 7

Sabemos que z times phi = -p, onde p é a direção radial. Então:
F = q v Bphi (-p) = -q v Bphi p
Substituindo Bphi que encontramos:
F = -q v ( mu0 J p2 ) p = -mu0 J q v p2 p

Passo 8

Agora, vamos escrever a equação de movimento. Segundo a segunda lei de Newton:
F = m a
Onde m é a massa da carga e a é a aceleração. Substituindo a força que encontramos:
-mu0 J q v p2 p = m a
Isso nos dá a equação de movimento no plano (p; z).

Resposta

A força que o objeto exerce sobre a carga q é:
F = -mu0 J q v p2 p
E a equação de movimento no plano (p; z) é:
-mu0 J q v p2 p = m a

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