Dado uma densidade de corrente
atravessando um objeto com simetria azimutal (eixo
), sendo
, e uma carga com velocidade
, encontre a força que o objeto exerce sobre a carga q e escreva especificamente a equação de movimento (
) no plano (p;z)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe envolve Eletromagnetismo, mais especificamente a interação entre uma corrente elétrica e uma carga em movimento. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir qual é a força que um objeto com uma densidade de corrente
exerce sobre uma carga
que está se movendo com uma velocidade
. Para isso, vamos usar conceitos de campo magnético e força de Lorentz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a densidade de corrente
. Isso significa que temos uma corrente elétrica fluindo na direção do eixo
. Para encontrar o campo magnético
gerado por essa corrente, podemos usar a Lei de Ampère ou a Lei de Biot-Savart, mas como o objeto tem simetria azimutal, fica mais fácil aplicar a Lei de Ampère.
Passo 3
A Lei de Ampère nos diz que:
Onde
é a corrente total que passa pelo caminho de integração. Como a corrente está ao longo do eixo
e somos simétricos em torno desse eixo, o campo magnético
vai circular em torno do eixo
. Usando coordenadas cilíndricas, podemos dizer que
.
Passo 4
Calculando a corrente envolvida
, temos que
, onde
é a área através da qual a corrente passa. Se considerarmos uma distância radial
, então a área é
. Portanto:
Passo 5
Substituindo na Lei de Ampère:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos o campo magnético
, podemos calcular a força que ele exerce sobre a carga
em movimento. A força de Lorentz é dada por:
Aqui,
e
. Vamos calcular o produto vetorial.
Passo 7
Sabemos que
, onde
é a direção radial. Então:
Substituindo
que encontramos:
Passo 8
Agora, vamos escrever a equação de movimento. Segundo a segunda lei de Newton:
Onde
é a massa da carga e
é a aceleração. Substituindo a força que encontramos:
Isso nos dá a equação de movimento no plano
.
Resposta
A força que o objeto exerce sobre a carga
é:
E a equação de movimento no plano
é: