Para um escoamento a 20 \mathrm{~m} / \\mathrm{s} sobre uma fina placa plana, estime a distância x a partir do bordo de ataque que a camada-limite terá espessura de 1 mm e de 10 cm para:
Ar a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm .

Passo 1

O enunciado pede para estimar a posição x ao longo de uma placa plana onde a espessura da camada‐limite atinge dois valores ( 1 mm e 10 cm) para um escoamento de ar a U_\infty=20,m/s, T=20^\circC e p=1,atm. Como estamos num regime de escoamento sobre placa plana, vamos usar primeiro a correlação laminar
\delta(x)=5\,\sqrt{\frac{\nu\,x}{U_\infty}}
onde \nu é a viscosidade cinemática do ar.

Passo 2

Para ar a 20^\circC e 1,atm, em tabelas,
\nu\approx1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Queremos \delta=1,mm =0{,}001,m. Da expressão laminar
0{,}001 = 5\sqrt{\frac{1{,}5\times10^{-5}\,x}{20}}
\frac{0{,}001}{5} = \sqrt{\frac{1{,}5\times10^{-5}\,x}{20}} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{0{,}001}{5}\Bigr)^2 = \frac{1{,}5\times10^{-5}\,x}{20}
x = \frac{20}{1{,}5\times10^{-5}}\;\Bigl(\frac{0{,}001}{5}\Bigr)^{2} \approx0{,}053\\ \mathrm{m}.
Logo, para \delta=1,mm,
x\approx5{,}3\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Antes de usar a mesma fórmula para \delta=0{,}1,m, devemos checar até onde vale o regime laminar. A transição em placa plana ocorre em torno de
\mathrm{Re}_x= \frac{U_\infty\,x}{\nu}\approx5\times10^5 \quad\Longrightarrow\quad x_{\rm cr}=\frac{5\times10^5\,\nu}{U_\infty} \approx\frac{5\times10^5\cdot1{,}5\times10^{-5}}{20} \approx0{,}375\\ \mathrm{m}.
Como o x que daria \delta=0{,}1,m pela fórmula laminar seria muito maior que 0{,}375,m, não podemos mais usar a correlação laminar.

Passo 5

No regime totalmente turbulento (pós-transição), a espessura da camada‐limite é dada pela correlação empírica
\delta(x)\approx0{,}37\,\frac{x}{\mathrm{Re}_x^{1/5}} \quad\text{com}\quad \mathrm{Re}_x=\frac{U_\infty\,x}{\nu}.
Reescrevendo
\delta = 0{,}37\,x\;(Ux/\nu)^{-1/5} =0{,}37\;\frac{\nu^{1/5}}{U_\infty^{1/5}}\;x^{4/5}.
Para \delta=0{,}1,m, isolamos x:
0{,}1 = 0{,}37\;\frac{\nu^{1/5}}{U_\infty^{1/5}}\;x^{4/5} \quad\Longrightarrow\quad x=\biggl[\frac{0{,}1}{0{,}37}\;\frac{U_\infty^{1/5}}{\nu^{1/5}}\biggr]^{5/4}.
Substituindo \nu=1{,}5\times10^{-5},m ^2/s e U_\infty=20,m/s,
\frac{\nu^{1/5}}{U_\infty^{1/5}} =\frac{(1{,}5\times10^{-5})^{0{,}2}}{20^{0{,}2}} \approx0{,}0597,
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x\approx\Bigl[\frac{0{,}1}{0{,}37\cdot0{,}0597}\Bigr]^{5/4} \approx6{,}6\\ \mathrm{m}.

Resposta

Para \delta=1,mm:
x\approx0{,}053,m.
Para \delta=10,cm (no regime turbulento):
x\approx6{,}6,m.

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