Para um escoamento a 20 \mathrm{~m} / \\mathrm{s} sobre uma fina placa plana, estime a distância x a partir do bordo de ataque que a camada-limite terá espessura de 1 mm e de 10 cm para:
Água a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm .

Passo 1

O enunciado pede para estimar, num escoamento de velocidade U=20\,\mathrm{m/s} sobre placa plana, a posição x onde a espessura da camada-limite atinge \delta=1\,\mathrm{mm} e \delta=10\,\mathrm{cm}. O fluido é água a 20^\circ\mathrm{C}, cuja viscosidade cinemática é
\nu = 1\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}.
Para resolver, vamos usar:
– na região laminar (válida até Re_x\approx5\times10^5),
\delta_{\rm lam}(x)=5\sqrt{\frac{\nu\,x}{U}};
– na região turbulenta (após transição),
\delta_{\rm turb}(x)=0.37\,x\,Re_x^{-1/5},\quad Re_x=\frac{U\,x}{\nu}.

Passo 2

Determinar onde termina a região laminar, usando Re_{cr}=5\times10^5:
x_{cr}=\frac{Re_{cr}\,\nu}{U} =\frac{5\times10^5\times1\times10^{-6}}{20} =2,5\times10^{-2}\,\mathrm{m}.
Para x>x_{cr} a camada-limite já é turbulenta.

Passo 3

Estimativa de x para \delta=1\,\mathrm{mm}=1\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Primeiro, se usássemos a fórmula laminar,
1\times10^{-3} =5\sqrt{\frac{\nu\,x}{U}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{U}{\nu}\Bigl(\frac{10^{-3}}{5}\Bigr)^2 =0,8\,\mathrm{m},
mas isso excede x_{cr}=0,025\,\mathrm{m}, logo a camada já está turbulenta.
Na região turbulenta usamos
\delta=0.37\,x\,\Bigl(\frac{U\,x}{\nu}\Bigr)^{-1/5} =0.37\,x^{4/5}\Bigl(\frac{\nu}{U}\Bigr)^{1/5},
\implies x =\biggl[\frac{\delta}{0.37\,(\nu/U)^{1/5}}\biggr]^{5/4}.
Substituindo \delta=10^{-3}\,\mathrm{m} e \nu/U=5\times10^{-8}:
x\approx4{,}1\times10^{-2}\,\mathrm{m} \quad(\approx4{,}1\,\mathrm{cm}).

Passo 4

Estimativa de x para \delta=10\,\mathrm{cm}=0{,}10\,\mathrm{m} em regime turbulento:
x =\biggl[\frac{0{,}10}{0.37\,(\nu/U)^{1/5}}\biggr]^{5/4} \approx13\,\mathrm{m}.

Resposta

x para \delta=1\,\mathrm{mm}: aproximadamente 4{,}1\,\mathrm{cm}.
x para \delta=10\,\mathrm{cm}: aproximadamente 13\,\mathrm{m}.

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