Stokes demonstrou que a força de arraste que atua sobre uma esfera escoando em números de Reynolds bem baixos ( R e_{p} \leq 1 creeping flow) é dada pela equação abaixo:
F_{\text {arraste esfera }}=3 \pi \mu U d_{p}
Demonstre que para uma esfera escoando neste regime, o coeficiente adimensional de arraste é dado por C_{A}=24 / R e_{p}.

Passo 1

O enunciado diz que, em escoamento laminar bem lento (número de Reynolds de partícula \,Re_{p}\le1), a força de arraste sobre uma esfera vale
F_{\text{arraste}}=3\pi\mu U d_{p}.
Queremos mostrar que o coeficiente adimensional de arraste, definido por
C_{A}=\frac{F_{\text{arraste}}}{\tfrac12\,\rho\,U^{2}\,A},
fica igual a 24/Re_{p}. Para isso, vamos precisar da área de seção projetada da esfera e da definição de Re_{p}.

Passo 2

A área de seção reta projetada de uma esfera de diâmetro d_{p} (vista de frente) é
A=\frac{\pi\,d_{p}^{2}}{4}.
E o número de Reynolds de partícula é
Re_{p}=\frac{\rho\,U\,d_{p}}{\mu}.

Passo 3

Substituindo F_{\text{arraste}}=3\pi\mu U d_{p} e A=\pi d_{p}^{2}/4 na definição de C_{A}, temos
C_{A} =\frac{3\pi\mu U d_{p}}{\tfrac12\,\rho\,U^{2}\,\bigl(\pi d_{p}^{2}/4\bigr)} =\frac{3\pi\mu U d_{p}}{\frac{\pi\,\rho\,U^{2}\,d_{p}^{2}}{8}} =\frac{3\pi\mu U d_{p}\times8}{\pi\,\rho\,U^{2}\,d_{p}^{2}} =\frac{24\,\mu}{\rho\,U\,d_{p}}.

Passo 4

Reconhecendo que \mu/(\rho U d_{p})=1/Re_{p}, concluímos
C_{A}=\frac{24}{Re_{p}}.

Resposta

C_{A}=\frac{24}{Re_{p}}.

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