(4,0 pontos ) A vazão de água que atravessa um Tubo Venturi em regime permanente é de 12,0 \mathrm{~L} / \mathrm{s} . \mathrm{O} aparelho tem o diâmetro maior medindo 40 mm e o diâmetro menor medindo 25 mm . Determine a altura h do fluido manométrico.

Passo 1

O enunciado pede a altura h do fluido manométrico num Tubo Venturi em regime permanente. Dados fornecidos (peguei direto do enunciado):
Q=12{,}0\\ \mathrm{L/s}=0{,}012\\ \mathrm{m^3/s},
D_1=40\\ \mathrm{mm}=0{,}04\\ \mathrm{m},
D_2=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
Informações adicionais que vou assumir (o enunciado não especificou a densidade do fluido manométrico, então escolho o caso mais comum: mercúrio):
\rho_{\text{água}}=\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},á
\rho_{\text{man}}=\rho_m=13600\\ \mathrm{kg/m^3}\quad(\text{mercúrio}),ú
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O que é pedido: calcular h (altura do líquido manométrico) correspondente à diferença de pressão entre a seção maior e a seção menor do Venturi.

Passo 2

Primeiro passo físico-matemático: usar a conservação de massa (equação da continuidade) para obter as velocidades nas duas seções. Explicação do conceito: em regime permanente, a vazão volumétrica Q é igual à área da seção vezes a velocidade média nessa seção. A área de uma tubulação circular de diâmetro D é
A=\frac{\pi D^2}{4},
onde A é a área em \mathrm{m^2} e D é o diâmetro em \mathrm{m}. A equação da continuidade é
Q=A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde v_1 e v_2 são as velocidades médias nas seções 1 (diâmetro maior) e 2 (diâmetro menor), respectivamente.
Calculo das áreas:
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0{,}04)^2}{4},
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0{,}025)^2}{4}.

Passo 3

Agora calculo numérico das áreas e velocidades, mostrando passo a passo:
Cálculo de A_1:
A_1=\frac{\pi (0{,}04)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 0{,}0016}{4}=0{,}0004\pi\approx 0{,}001256637\\ \mathrm{m^2}.
Cálculo de A_2:
A_2=\frac{\pi (0{,}025)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 0{,}000625}{4}=0{,}00015625\pi\approx 0{,}0004908739\\ \mathrm{m^2}.
Velocidades pela continuidade:
v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0{,}012}{0{,}001256637}\approx 9{,}5492966\\ \mathrm{m/s},
v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0{,}012}{0{,}0004908739}\approx 24{,}4444444\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: a seção menor gera velocidade maior — é a ideia física do Venturi.

Passo 4

Agora usamos a equação de Bernoulli entre as duas seções para relacionar a diferença de pressão com as velocidades. Explicação do conceito: a equação de Bernoulli (para escoamento incompressível, sem perdas por atrito e sem diferença de cota) diz que a soma da pressão estática e da pressão dinâmica é constante:
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Rearranjando obtemos a diferença de pressão entre as seções:
\Delta p \equiv p_1-p_2=\tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2-v_1^2\right).
Aqui \rho é a densidade do fluido que escoa no tubo (água).
Cálculo numérico:
v_2^2\approx (24{,}4444444)^2\approx 597{,}5308642\\ \mathrm{(m^2/s^2)},
v_1^2\approx (9{,}5492966)^2\approx 91{,}1714286\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
v_2^2-v_1^2\approx 597{,}5308642-91{,}1714286=506{,}3594356.
\Delta p=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 506{,}3594356 \approx 253{,}179{,}7178\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Relacionando a diferença de pressão com a coluna manométrica: explicação didática do manômetro em U com fluido manométrico mais denso (mercúrio). A diferença de pressão p_1-p_2 provoca uma diferença de níveis h do fluido manométrico. Ao igualarmos pressões no mesmo plano horizontal dentro do manômetro e levando em conta as colunas dos dois fluidos (água e fluido manométrico), obtém-se a relação clássica:
p_1-p_2=(\rho_m-\rho)\,g\,h,
onde \rho_m é a densidade do fluido manométrico (mercúrio) e \rho é a densidade do fluido do tubo (água). Intuição: a coluna mais pesada (mercúrio) compensa a diferença de pressão com sua diferença de altura relativa à água.
Despejando h:
h=\frac{p_1-p_2}{(\rho_m-\rho)g}=\frac{\Delta p}{(\rho_m-\rho)g}.
Substituindo numericamente:
\rho_m-\rho=13600-1000=12600\\ \mathrm{kg/m^3},
(\rho_m-\rho)g=12600\cdot 9{,}81=123{,}606\\ \mathrm{N/m^3}.
h=\frac{253{,}179{,}7178}{123{,}606}\approx 2{,}048734\\ \mathrm{m}.
Arredondando com precisão razoável para duas casas decimais (compatível com dados dados):
h\approx 2{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Checagem de consistência e comentários finais: o valor obtido é coerente — a densidade grande do mercúrio faz com que uma diferença de pressão do tipo aqui (cerca de 2,5·10^5 Pa) gere uma coluna da ordem de 2 metros. Se o fluido manométrico fosse menos denso (óleos, por exemplo), o h seria ainda maior. Se você tiver outra densidade para o manométrico, é só substituir \rho_m na fórmula final.

Resposta

h=2{,}05\\ \mathrm{m}

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