Um escoamento bidimensional é descrito pelo seguinte campo de velocidades:
V=(6 x y i+3 x^2 j) m / s
Onde i e j são os vetores unitários nas direções xey, respectivamente.
Verifique se o escoamento é incompressível.

Passo 1

Beleza, o exercício nos dá um escoamento bidimensional com velocidade
V = (6,x,y),i ;+;(3,x^2),j
e pede pra gente verificar se ele é incompressível. Isso cai lá em mecânica dos fluidos, mais especificamente na parte de divergência de campo de velocidades. Para resolver, vamos usar a teoria de divergência: um escoamento é incompressível se a divergência da velocidade for zero em todo ponto. Precisamos então calcular
nabla!cdot!V ;=;partial upartial x+partial vpartial y

Passo 2

Primeiro, lembre que a divergência de um campo 2D nabla!cdot!V ;=;partial upartial x ;+;partial vpartial y é
Se isso der zero para todo , o fluxo é incompressível; caso contrário, não é.

Passo 3

Identifica as componentes:
u(x,y) = 6 x y
v(x,y) = 3 x^2
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial upartial x =partial (6xy)partial x =6,y
partial vpartial y =partial (3x^2)partial y =0

Passo 4

Somando as duas contribuições, temos
nabla!cdot!V =6,y ;+;0 =6,y
Isso só seria zero se , mas como a divergência precisa ser zero em todo ponto do fluxo e aqui ela depende de , o valor não é identicamente zero.

Resposta

O escoamento não é incompressível, pois sua divergência é na maior parte do domínio.

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