Um escoamento bidimensional é descrito pelo seguinte campo de velocidades:
Onde i e j são os vetores unitários nas direções xey, respectivamente.
Verifique se o escoamento é incompressível.
Verifique se o escoamento é incompressível.
Passo 1
Beleza, o exercício nos dá um escoamento bidimensional com velocidade
e pede pra gente verificar se ele é incompressível. Isso cai lá em mecânica dos fluidos, mais especificamente na parte de divergência de campo de velocidades. Para resolver, vamos usar a teoria de divergência: um escoamento é incompressível se a divergência da velocidade for zero em todo ponto. Precisamos então calcular
Passo 2
Primeiro, lembre que a divergência de um campo 2D
é
Se isso der zero para todo
, o fluxo é incompressível; caso contrário, não é.
Passo 3
Identifica as componentes:
u(x,y) = 6 x y
v(x,y) = 3 x^2
u(x,y) = 6 x y
v(x,y) = 3 x^2
Agora calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Somando as duas contribuições, temos
Isso só seria zero se
, mas como a divergência precisa ser zero em todo ponto do fluxo e aqui ela depende de
, o valor não é identicamente zero.
Resposta
O escoamento não é incompressível, pois sua divergência é
na maior parte do domínio.