Um projétil é lançado obliquamente em um meio fluido. A distância horizontal percorrida pelo projétil (alcance) depende das seguintes variáveis: Velocidade inicial do projétil (V): em metros por segundo; Ângulo de lançamento ( theta): em radianos, Diâmetro do projétil (D): em metros; Densidade do fluido ( rho): em quilogramas por metro cúbico; Viscosidade do fluido ( mu): em Pascalsegundo; Aceleração da gravidade (g): em metros por segundo ao quadrado
Utilizando o Teorema Pi de Buckingham, determine:
O número de grupos adimensionais (números pi) necessários para descrever o problema.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que um projétil lançado obliquamente em um fluido tem alcance horizontal (vamos chamar de ) que depende de:
  • Velocidade inicial (m/s)
  • Ângulo de lançamento (rad)
  • Diâmetro do projétil (m)
  • Densidade do fluido (kg/m³)
  • Viscosidade do fluido (Pa·s)
  • Gravidade (m/s²)
O assunto é o Teorema de Buckingham, que ajuda a transformar um problema físico em grupos adimensionais. Pra resolver, vamos:
  1. Contar quantas variáveis temos ( ).
  2. Determinar quantas dimensões fundamentais entraram ( ).
  3. Aplicar a fórmula pra achar o número de grupos .

Passo 2

Primeiro, listamos todas as variáveis envolvidas (incluindo o alcance m = 7 ):
  1. (alcance)
  2. (velocidade)
  3. (ângulo)
  4. (diâmetro)
  5. (densidade)
  6. (viscosidade)
  7. (gravidade)
Então o total de variáveis é

Passo 3

Agora vemos de quais dimensões fundamentais cada variável depende. As dimensões básicas são:
  • Massa k = 3
  • Comprimento
  • Tempo
O ângulo é adimensional, ele não traz nenhuma dimensão extra. Portanto, o número total de dimensões fundamentais que aparecem é

Passo 4

Pelo Teorema n = m - k de Buckingham, o número de grupos adimensionais n = 7 - 3 = 4 é dado por
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O número de grupos adimensionais necessários é 4.

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