Um projétil é lançado obliquamente em um meio fluido. A distância horizontal percorrida pelo projétil (alcance) depende das seguintes variáveis: Velocidade inicial do projétil (V): em metros por segundo; Ângulo de lançamento (
): em radianos, Diâmetro do projétil (D): em metros; Densidade do fluido (
): em quilogramas por metro cúbico; Viscosidade do fluido (
): em Pascalsegundo; Aceleração da gravidade (g): em metros por segundo ao quadrado
Utilizando o Teorema Pi de Buckingham, determine:
Escreva a equação dimensional que relaciona o alcance do projétil com os grupos adimensionais encontrados.
Utilizando o Teorema Pi de Buckingham, determine:
Escreva a equação dimensional que relaciona o alcance do projétil com os grupos adimensionais encontrados.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A ideia é usar o Teorema π de Buckingham pra descobrir como o alcance horizontal
de um projétil lançado num fluido depende das variáveis
- Velocidade inicial
- Ângulo de lançamento
(já é adimensional) - Diâmetro do projétil
- Densidade do fluido
- Viscosidade dinâmica do fluido
- Gravidade
O conteúdo aqui é “Análise dimensional” e, em especial, “Buckingham π”. Pra resolver, a gente vai:
- listar variáveis e dimensões,
- contar quantos grupos dimensionais temos e quantos π surgem,
- escolher variáveis base (repetentes) e montar os πs,
- escrever a forma final da relação.
Passo 2
Primeiro, lista geral das variáveis e suas dimensões:
,
,
,
,
,
,
.
Temos
variáveis e
dimensões fundamentais
. Logo o número de πs é
Ou seja, vamos formar 4 grupos adimensionais.
Passo 3
Escolhemos 3 variáveis repetentes que cubram
: por exemplo
,
e
.
Agora, montamos cada π exigindo que a combinação fique adimensional:
Agora, montamos cada π exigindo que a combinação fique adimensional:
-
π₁ (envolvendo
):
.
Exigindodá na prática . -
π₂ (envolvendo
):
.
Fazendo as contas de dimensão aparece(é o inverso do número de Froude). -
π₃ (envolvendo
):
.
Resolvendo, chega-se em(o famoso número de Reynolds). -
π₄ (o próprio
):
Então nossos grupos são:
Resposta
A relação dimensional geral fica, então, na forma
onde
é uma função arbitrária que só depende dos três grupos adimensionais
,
e
.