Um projétil é lançado obliquamente em um meio fluido. A distância horizontal percorrida pelo projétil (alcance) depende das seguintes variáveis: Velocidade inicial do projétil (V): em metros por segundo; Ângulo de lançamento ( theta): em radianos, Diâmetro do projétil (D): em metros; Densidade do fluido ( rho): em quilogramas por metro cúbico; Viscosidade do fluido ( mu): em Pascalsegundo; Aceleração da gravidade (g): em metros por segundo ao quadrado
Utilizando o Teorema Pi de Buckingham, determine:
Escreva a equação dimensional que relaciona o alcance do projétil com os grupos adimensionais encontrados.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A ideia é usar o Teorema π de Buckingham pra descobrir como o alcance horizontal de um projétil lançado num fluido depende das variáveis
  • Velocidade inicial
  • Ângulo de lançamento (já é adimensional)
  • Diâmetro do projétil
  • Densidade do fluido
  • Viscosidade dinâmica do fluido
  • Gravidade
O conteúdo aqui é “Análise dimensional” e, em especial, “Buckingham π”. Pra resolver, a gente vai:
  1. listar variáveis e dimensões,
  2. contar quantos grupos dimensionais temos e quantos π surgem,
  3. escolher variáveis base (repetentes) e montar os πs,
  4. escrever a forma final da relação.

Passo 2

Primeiro, lista geral das variáveis e suas dimensões:
n - k = 7 - 3 = 4 , , , ,
, , .
Temos variáveis e dimensões fundamentais . Logo o número de πs é
Ou seja, vamos formar 4 grupos adimensionais.

Passo 3

Escolhemos 3 variáveis repetentes que cubram Pi1 = RD, Pi2 = V^2g,D, Pi3 = rho,V,Dmu, Pi4 = theta : por exemplo , e .
Agora, montamos cada π exigindo que a combinação fique adimensional:
  1. π₁ (envolvendo ):
    .
    Exigindo dá na prática .
  2. π₂ (envolvendo ):
    .
    Fazendo as contas de dimensão aparece (é o inverso do número de Froude).
  3. π₃ (envolvendo ):
    .
    Resolvendo, chega-se em (o famoso número de Reynolds).
  4. π₄ (o próprio ):
Então nossos grupos são:

Resposta

A relação dimensional geral fica, então, na forma
boxedRD ;=;Phi!l(,V^2g,D;,;rho,V,Dmu;,;thetar),,
onde é uma função arbitrária que só depende dos três grupos adimensionais , e .

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