Em um escoamento o campo de velocidades é dado por: v=400[(y / L)^2 de. Determinar a expressão do gradiente de pressão em um ponto (x, y) do escoamento, considerando que o efeito do campo gravitacional pode ser desprezado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de fluxo de fluido onde a velocidade em cada ponto (x, y) é dada por v = 400[(yL)^2 de. Nosso objetivo aqui é descobrir como varia a pressão nesse fluxo, ou seja, encontrar o gradiente de pressão nabla p em qualquer ponto (x, y). Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente as Equações de Navier-Stokes, que relacionam velocidade e pressão no fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das Equações de Navier-Stokes para um fluxo incompressível e estacionário (sem variação no tempo), desprezando os efeitos da gravidade. A equação fica assim:
rho (v cdot nabla)v = -nabla p + mu nabla^2 v
Onde:
  • rho é a densidade do fluido,
  • v é o campo de velocidades,
  • mu é a viscosidade dinâmica,
  • nabla p é o gradiente de pressão,
  • nabla^2 v é o laplaciano da velocidade.
Como não foi mencionado nenhum valor para a viscosidade e, frequentemente, em problemas iniciais, consideramos fluxo ideal (ou seja, mu = 0), podemos simplificar a equação para:
rho (v cdot nabla)v = -nabla p

Passo 3

Agora, vamos calcular o termo (v cdot nabla)v. Primeiro, expressamos o campo de velocidades de forma componentizada:
vx = 400 ( yL )^2
vy = 400 ( xL )^2
O operador nabla em coordenadas cartesianas é:
nabla = de
Então, o produto escalar v cdot nabla fica:
v cdot nabla = vx partialpartial x + vy partialpartial y
Aplicando isso na velocidade v:
(v cdot nabla)v = vx partial vpartial x + vy partial vpartial y

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro, partial vpartial x:
partial vxpartial x = partialpartial x [ 400 ( yL )^2 ] = 0
partial vypartial x = partialpartial x [ 400 ( xL )^2 ] = 400 cdot 2 ( xL ) cdot 1L = 800xL^2
Então,
partial vpartial x = 0 de
Segundo, partial vpartial y:
partial vxpartial y = partialpartial y [ 400 ( yL )^2 ] = 400 cdot 2 ( yL ) cdot 1L = 800yL^2
partial vypartial y = partialpartial y [ 400 ( xL )^2 ] = 0
Então,
partial vpartial y = 800yL^2 de

Passo 5

Agora substituímos essas derivadas no termo (v cdot nabla)v:
(v cdot nabla)v = vx partial vpartial x + vy partial vpartial y
Substituindo vx e vy:
= 400 ( yL )^2 [ 0 de
Simplificando:
= 400 ( yL )^2 cdot 800xL^2 de
= 320000 x y^2L^4 de

Passo 6

Agora, lembrando da equação simplificada das Navier-Stokes:
rho (v cdot nabla)v = -nabla p
Então:
nabla p = -rho (v cdot nabla)v
Substituindo o que encontramos:
nabla p = -rho ( 320000 x y^2L^4 de
Podemos reorganizar os termos:
nabla p = -320000 rhoL^4 ( x^2 y de

Resposta

A expressão do gradiente de pressão no ponto (x, y) é:
nabla p = -320000 rhoL^4 ( x^2 y de

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