Em um escoamento o campo de velocidades é dado por:
. Determinar a expressão do gradiente de pressão em um ponto
do escoamento, considerando que o efeito do campo gravitacional pode ser desprezado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de fluxo de fluido onde a velocidade em cada ponto
é dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir como varia a pressão nesse fluxo, ou seja, encontrar o gradiente de pressão
em qualquer ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente as Equações de Navier-Stokes, que relacionam velocidade e pressão no fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das Equações de Navier-Stokes para um fluxo incompressível e estacionário (sem variação no tempo), desprezando os efeitos da gravidade. A equação fica assim:
Onde:
-
é a densidade do fluido, -
é o campo de velocidades, -
é a viscosidade dinâmica, -
é o gradiente de pressão, -
é o laplaciano da velocidade.
Como não foi mencionado nenhum valor para a viscosidade e, frequentemente, em problemas iniciais, consideramos fluxo ideal (ou seja,
), podemos simplificar a equação para:
Passo 3
Agora, vamos calcular o termo
. Primeiro, expressamos o campo de velocidades de forma componentizada:
O operador
em coordenadas cartesianas é:
Então, o produto escalar
fica:
Aplicando isso na velocidade
:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro,
:
Então,
Segundo,
:
Então,
Passo 5
Agora substituímos essas derivadas no termo
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, lembrando da equação simplificada das Navier-Stokes:
Então:
Substituindo o que encontramos:
Podemos reorganizar os termos:
Resposta
A expressão do gradiente de pressão no ponto
é: