Um recipiente cilíndrico de raio
está cheio com um líquido de densidade e viscosidade constantes. O recipiente começa a girar em torno de seu próprio eixo com uma velocidade angular
. Determine a forma da superfície livre do líquido quando se atinge o estado estacionário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um recipiente cilíndrico de raio $ R $ cheio de um líquido com densidade e viscosidade constantes. Esse recipiente começa a girar em torno do seu próprio eixo com uma velocidade angular $ \Omega $. Nosso objetivo é determinar a forma da superfície livre do líquido quando ele atinge o estado estacionário. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equilíbrio de forças em fluidos e a relação entre força centrífuga e gravidade.
Passo 2
Quando o recipiente gira, o líquido dentro dele também gira devido à força centrífuga. Em estado estacionário, as forças centrífugas causadas pela rotação equilibram a força da gravidade que age para baixo. Esse equilíbrio determina a forma da superfície do líquido.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de líquido na superfície a uma distância radial $ r $ do eixo de rotação. A força centrífuga que age sobre esse elemento é dada por $ F_c = \rho \Omega^2 r $, onde $ \rho $ é a densidade do líquido.
Passo 4
A força da gravidade que age sobre o elemento é $ F_g = \rho g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade. No estado estacionário, essas duas forças devem se equilibrar na superfície do líquido.
Passo 5
A condição de equilíbrio pode ser expressa pela igualdade $ \rho \Omega^2 r = \rho g \frac{dh}{dr} $, onde $ \frac{dh}{dr} $ é a inclinação da superfície do líquido em relação ao eixo de rotação.
Passo 6
Podemos simplificar essa equação eliminando $ \rho $ dos dois lados:
Passo 7
Agora, rearranjamos para isolar $ \frac{dh}{dr} $:
Passo 8
Para encontrar a forma da superfície $ h® $, integramos ambos os lados em relação a $ r $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Para determinar a constante $ C
r = 0 $), a altura do líquido pode ser definida como $ h(0) = h_0 $. Portanto:
Passo 10
Assim, a equação que descreve a forma da superfície do líquido é:
Resposta
A forma da superfície livre do líquido quando o recipiente cilíndrico gira em estado estacionário é uma parábola dada por: