Um recipiente cilíndrico de raio R está cheio com um líquido de densidade e viscosidade constantes. O recipiente começa a girar em torno de seu próprio eixo com uma velocidade angular Omega. Determine a forma da superfície livre do líquido quando se atinge o estado estacionário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um recipiente cilíndrico de raio $ R $ cheio de um líquido com densidade e viscosidade constantes. Esse recipiente começa a girar em torno do seu próprio eixo com uma velocidade angular $ \Omega $. Nosso objetivo é determinar a forma da superfície livre do líquido quando ele atinge o estado estacionário. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equilíbrio de forças em fluidos e a relação entre força centrífuga e gravidade.

Passo 2

Quando o recipiente gira, o líquido dentro dele também gira devido à força centrífuga. Em estado estacionário, as forças centrífugas causadas pela rotação equilibram a força da gravidade que age para baixo. Esse equilíbrio determina a forma da superfície do líquido.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de líquido na superfície a uma distância radial $ r $ do eixo de rotação. A força centrífuga que age sobre esse elemento é dada por $ F_c = \rho \Omega^2 r $, onde $ \rho $ é a densidade do líquido.

Passo 4

A força da gravidade que age sobre o elemento é $ F_g = \rho g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade. No estado estacionário, essas duas forças devem se equilibrar na superfície do líquido.

Passo 5

A condição de equilíbrio pode ser expressa pela igualdade $ \rho \Omega^2 r = \rho g \frac{dh}{dr} $, onde $ \frac{dh}{dr} $ é a inclinação da superfície do líquido em relação ao eixo de rotação.

Passo 6

Podemos simplificar essa equação eliminando $ \rho $ dos dois lados:
rho

Passo 7

Agora, rearranjamos para isolar $ \frac{dh}{dr} $:
dhdr

Passo 8

Para encontrar a forma da superfície $ h® $, integramos ambos os lados em relação a $ r $:
h(r)
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Para determinar a constante $ C C çã r = 0 $), a altura do líquido pode ser definida como $ h(0) = h_0 $. Portanto:
r = 0

Passo 10

Assim, a equação que descreve a forma da superfície do líquido é:
h(r) = h0 + Omega^22g r^2

Resposta

A forma da superfície livre do líquido quando o recipiente cilíndrico gira em estado estacionário é uma parábola dada por:
h(r) = h0 + Omega^22g r^2

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