Considere um fluido que se movimenta em regime permanente, como corpo rígido, girando em torno do eixo
. Admitindo que
, mostre que:
onde
é a velocidade angular
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos usar. Estamos lidando com um fluido que está se movendo de forma constante, ou seja, em regime permanente. Esse fluido se comporta como se fosse um corpo rígido que está girando em torno do eixo
. Precisamos mostrar como a pressão
varia em relação às coordenadas
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como o equilíbrio de forças em um fluido em movimento rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas que estamos usando. Estamos trabalhando em coordenadas cilíndricas
, onde:
-
é a distância radial do eixo de rotação, -
é o ângulo na direção da rotação, -
é a altura ao longo do eixo de rotação.
Passo 3
Como o fluido está girando como um corpo rígido, cada partícula do fluido tem uma velocidade angular constante
. Isso significa que a velocidade linear em uma posição
é
.
Passo 4
Vamos considerar as forças atuando no fluido. Há duas principais:
- A força centrípeta devido à rotação, que puxa o fluido para fora radialmente.
- A força da gravidade atuando na direção
.
Passo 5
Para encontrar como a pressão varia, usamos o equilíbrio de forças no fluido. Isso significa que a soma das forças deve ser zero em cada direção.
Passo 6
Começamos analisando a direção radial (
). A força centrípeta por unidade de volume é
, onde
é a densidade do fluido. A variação da pressão na direção
deve equilibrar essa força, então temos:
Passo 7
Na direção angular (
), não há aceleração ou forças externas atuando nessa direção. Portanto, não há variação de pressão na direção
, ou seja:
Passo 8
Finalmente, na direção vertical (
), a única força atuante é a gravidade. A força da gravidade por unidade de volume é
. A variação da pressão na direção
deve equilibrar essa força, então temos:
Resposta
Assim, mostramos que: