Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade:
V=aimath+b xjmath
em que a=2 m / s e b=1 s-1. As coordenadas são medidas em metros.
Em t=2 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (0,4) em t=0 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o escoamento tem velocidade
vec V = a,hatimath + b,x,hatjmath
com dxdt=Vx e dydt=Vy e . As coordenadas são em metros. Querem saber, no instante , onde está a partícula que, em , passou por .
Conteúdo: cinemática de partículas num campo de velocidades (equações diferenciais simples). Vamos precisar montar as equações
e integrar.

Passo 2

Primeiro, se liga em Vx = a = 2 m/s . Do enunciado:
dxdt = 2
Isso significa que
x(t) = x0 + integral0^t 2,dtau = x0 + 2t
Para encontrar x(t) = 0 + 2t = 2t , integramos em relação a :
Aqui é a posição em , que é . Logo

Passo 3

Agora olha Vy = b,x = 1cdot x = x, . O enunciado dá
dydt = x(t)
ou seja
dydt = 2t
Mas a gente já sabe que y(t) = y0 + integral0^t 2tau,dtau = y0 + [t^2]0^t = y0 + t^2 . Então
y(t) = 4 + t^2
Integramos para achar :
Como , fica

Passo 4

Basta avaliar em x(2) = 2cdot 2 = 4 m, :
y(2) = 4 + 2^2 = 4 + 4 = 8 m

Resposta

As coordenadas da partícula em são .

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